Меню Главная Случайная статья Настройки Тривиальная топология Материал из https://ru.wikipedia.org Тривиальная топология в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Свойства 4 См. также Определение Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное множество. Семейство подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{X,\varnothing \},}$ где ${\displaystyle \varnothing }$ обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией слипшихся точек. Пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ называется тривиальным (иначе: антидискретным) топологическим пространством. Замечание Если множество ${\displaystyle X}$ содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности. Свойства Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle \varnothing .}$ Антидискретная топология обладает единственной базой: ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}.}$ Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т3, T3, Т4 ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т1. Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно. Любая последовательность точек из ${\displaystyle X}$ сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно. Внутренность произвольного собственного подмножества ${\displaystyle A\subsetneq X}$ пуста. Замыкание произвольного непустого подмножества ${\displaystyle A\subset X}$ совпадает с ${\displaystyle X}$. В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в ${\displaystyle X.}$ Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность. См. также Дискретная топология.