Меню Главная Случайная статья Настройки Тригонометрические тождества Материал из https://ru.wikipedia.org Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций. Содержание 1 Основные тригонометрические формулы 2 Формулы сложения и вычитания аргументов 2.1 Формулы для двух аргументов 2.2 Формулы для трёх аргументов 3 Формулы кратных углов 3.1 Формулы двойного угла 3.2 Формулы тройного угла 3.3 Формулы четверного угла 3.4 Общий случай 4 Формулы половинного угла 5 Формулы понижения степени 6 Формулы преобразования произведения функций 7 Формулы преобразования суммы функций 8 Решение простых тригонометрических уравнений 9 Универсальная тригонометрическая подстановка 10 Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний) 11 Представление тригонометрических функций в комплексной форме 12 См. также Основные тригонометрические формулы № Формула Допустимые значения аргумента 1.1 ${\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 1.2 ${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 1.3 ${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 1.4 ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ соответственно. Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса. Формулы сложения и вычитания аргументов Формулы для двух аргументов № Формула Допустимые значения аргумента 2.1 ${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 2.2 ${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 2.3 ${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}$ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha \pm \beta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 2.4 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \alpha \pm \beta \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1). На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD. Принято, что ${\displaystyle AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;}$ По построению: ${\displaystyle \angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;}$ Тогда: ${\displaystyle \angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;}$ Из треугольника ABD: ${\displaystyle BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;}$ Из треугольника BOD: ${\displaystyle OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};}$ ${\displaystyle OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$ Так как O лежит на отрезке AD: ${\displaystyle AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$ Тогда сразу: ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }$ Из треугольника AOC: ${\displaystyle OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}}$ Следовательно: ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=}$ ${\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$ Что и требовалось доказать[источник не указан 3458 дней]. Формулы для трёх аргументов № Формула Допустимые значения аргумента 2.5 ${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ 2.6 ${\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ 2.7 ${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma }}}$ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 2.8 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha +\beta +\gamma \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \operatorname {ctg} \gamma -\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta -\operatorname {ctg} \gamma }{\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \gamma +\operatorname {ctg} \beta \operatorname {tg} \gamma -1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ Формулы кратных углов Формулы кратных углов следуют из формул сложения при равенстве аргументов. Формулы двойного угла № Формула Допустимые значения аргумента 3.1 ${\displaystyle \operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.2 ${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }}$ ${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.3 ${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 3.4 ${\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ Формулы тройного угла Формулы тройного угла бывает удобным использовать в виде произведения, к которому их можно привести, применяя формулы преобразования суммы ниже. № Формула Допустимые значения аргумента 3.5 ${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.6 ${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.7 ${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ 3.8 ${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{3}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ Формулы четверного угла № Формула Допустимые значения аргумента 3.9 ${\displaystyle \sin \,4\alpha =4\sin \alpha \cos \alpha -8\sin ^{3}\alpha \cos \alpha =8\sin \alpha \cos ^{3}\alpha -4\sin \alpha \cos \alpha }$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.10 ${\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1=8\sin ^{4}\alpha -8\sin ^{2}\alpha +1,}$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.11 ${\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$ 3.12 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi n}{4}},\quad n\in \mathbb {Z} }$ Общий случай № Формула Допустимые значения аргумента 3.13 ${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.14 ${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }$ ${\displaystyle \forall \alpha }$ 3.15 ${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}}}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi m,\quad m\in \mathbb {Z} }$ 3.16 ${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}$ ${\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi m}{n}},\quad m\in \mathbb {Z} }$ Формулы половинного угла Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла: № Формулы половинного угла 4.1 ${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}$ 4.2 ${\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}$ 4.3 ${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ 4.4 ${\displaystyle \operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.  В формуле ${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней! Формулы понижения степени Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2): № Синус № Косинус № Произведение 5.1 ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$ 5.5 ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$ 5.9 ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$ 5.2 ${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$ 5.6 ${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$ 5.10 ${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$ 5.3 ${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$ 5.7 ${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$ 5.11 ${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$ 5.4 ${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$ 5.8 ${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$ 5.12 ${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$ Формулы преобразования произведения функций Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). № Синус и косинус № Тангенс и котангенс 6.1 ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$ 6.4 ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }}}$ 6.2 ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$ 6.5 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$ 6.3 ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$ 6.6 ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}=-{\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {ctg} \beta }{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }}}$ Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов: № Формула 6.7 ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$ 6.8 ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$ 6.9 ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$ 6.10 ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}$ Формулы преобразования суммы функций № Синус и косинус № Тангенс и котангенс 7.1 ${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$ 7.4 ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$ 7.2 ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ 7.5 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$ 7.3 ${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$ 7.6 ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha \mp \beta )}{\sin \alpha \cos \beta }}}$