Воспитанник школы «Енисей-СТМ»[2]. Играть начал в любительской команде «Большая Мурта»[3]. Летом 2016 года дебютировал в основной команде. За 3 года профессионального регби Узунов трижды становился чемпионом России, также в его достижениях Кубок и Суперкубок страны. На европейской арене Константин 2-кратный обладатель «Континентального Щита».
Карьера в сборной
В апреле 2013 года Константин Узунов съездил в Испанию, на первенство Европы по регби-7, где в составе сборной страны до 19 лет завоевал серебряную медаль[4]. В 2016 году, после дебюта за «Енисей-СТМ», был призван в ряды сборной на североамериканское турне, где дебютировал в матче против Канады на позиции 14-го номера[5].