Воспитанник клубов «Ян Регенсбург» и «Ингольштадт 04», в 2019 году Узун присоединился к «Нюрнбергу». 10 апреля 2023 года дебютировал за фарм-клуб «Нюрнберг II» в матче Региональной лиги против «Швайнфурта» и забил гол[1]. 12 мая 2023 года дебютировал за основную команду клуба, выйдя на замену в матче Второй Бундеслиги против «Магдебурга»[2]. 6 августа 2023 года забил свой первый гол за «Нюрнберг», оформив дубль в ворота клуба «Ганновер 96»[3].
2 июля 2024 года перешёл в франкфуртский «Айнтрахт», подписав контракт с клубом до 30 июня 2029 года[4].