Меню Главная Случайная статья Настройки Ультрафильтр Материал из https://ru.wikipedia.org Ультрафильтр на решётке ${\displaystyle F}$ — это максимальный собственный фильтр[1]. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой. Содержание 1 Определение 1.1 Замечания 2 Ультрафильтры в булевых алгебрах 3 Примеры 4 Свойства 5 Приложения 6 Примечания Определение Собственный фильтр ${\displaystyle F}$ на решётке ${\displaystyle L}$ является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от ${\displaystyle F}$) фильтре. Набор ${\displaystyle F}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ называется ультрафильтром на ${\displaystyle X}$, если ${\displaystyle \varnothing \notin F,}$ для любых двух элементов ${\displaystyle F}$ их пересечение также лежит в ${\displaystyle F,}$ для любого элемента ${\displaystyle F}$ все его надмножества лежат в ${\displaystyle F,}$ для любого подмножества ${\displaystyle Y\subseteq X}$ либо ${\displaystyle Y\in F}$, либо ${\displaystyle X\setminus Y\in F.}$ Замечания ${\displaystyle F}$ является ультрафильтром если функция на множествах ${\displaystyle S\subset X}$, заданная как ${\displaystyle \omega _{F}(S)=1}$, если ${\displaystyle S\in F}$, и ${\displaystyle \omega _{F}(S)=0}$ в противном случае, то ${\displaystyle \omega _{F}}$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на ${\displaystyle X}$. Ультрафильтры в булевых алгебрах Если решётка ${\displaystyle L}$ является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр ${\displaystyle F}$ является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента ${\displaystyle x\in L}$ либо ${\displaystyle x\in F}$, либо ${\displaystyle -x\in F}$ Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории. Примеры Минимальный фильтр, содержащий данный элемент ${\displaystyle x}$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом ${\displaystyle x}$. Любой главный фильтр является ультрафильтром Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры. подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории ${\displaystyle T}$, состоящее из теорем ${\displaystyle T}$ Свойства ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным. любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр. если ${\displaystyle F}$ — главный ультрафильтр на множестве ${\displaystyle X}$, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра. если ${\displaystyle F}$ — неглавный ультрафильтр на множестве ${\displaystyle X}$, то пересечение всех его элементов пусто. Каждый фильтр содержится в ультрафильтре. Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах. Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах. Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства ${\displaystyle X}$ — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств ${\displaystyle X}$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров ${\displaystyle G}$ можно взять множества ${\displaystyle D_{a}=\{U\in G|a\in U\}}$ для всевозможных ${\displaystyle a\in P(X).}$ Приложения Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения. Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха. Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу. Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.[2] Примечания Постников М. М. Лекции по геометрии: Гладкие многообразия. — 2. — URSS, 2017. — С. 166—170. — 480 с. — ISBN 978-5-9710-3916-7. Isaac Goldbring. Ultrafilter methods in combinatorics (англ.) // Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach. — 2021. — No. 6. Архивировано 24 января 2022 года.