Меню Главная Случайная статья Настройки Алгебра Клиффорда Материал из https://ru.wikipedia.org Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  ${\displaystyle Cl(E,Q(,))}$ над некоторым коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle E}$ — векторное пространство или, более общо, свободный ${\displaystyle K}$-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на ${\displaystyle E}$ билинейной формой ${\displaystyle Q}$. Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства EK и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа. Содержание 1 Формальное определение 1.1 Комментарий 2 Упрощенное "базисное" определение 3 Свойства 3.1 Матричные представления алгебр Клиффорда 4 Литература Формальное определение Пусть ${\displaystyle K}$  — коммутативное кольцо с единицей,  ${\displaystyle E}$ — свободный K-модуль, ${\displaystyle Q}$ — квадратичная форма на  ${\displaystyle E}$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ (или пары ${\displaystyle (E,Q)}$) называется факторалгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ тензорной алгебры ${\displaystyle T(E)}$, ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида ${\displaystyle x\otimes x-Q(x)1,~~x\in E}$ Элементы (векторы) из ${\displaystyle E}$, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы ${\displaystyle Cl(Q)}$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей: ${\displaystyle E\hookrightarrow Cl(Q)}$. Свойства алгебры Клиффорда зависят от поля ${\displaystyle K}$ и от сигнатуры квадратичной формы Q - пары чисел (p,q). Поэтому обозначают, например, так ${\displaystyle Cl_{p,q}(K)}$. Для поля комплексных чисел достаточно одного индекса размерности пространства. При этом ${\displaystyle Cl_{0,0}(K)}$ - это собственно поле K (вещественных или комплексных чисел). Алгебра ${\displaystyle Cl_{0,1}(R)}$ двумерна и изоморфна полю комплексных чисел. Алгебра ${\displaystyle Cl_{0,2}(R)}$ четырехмерна и изоморфна алгебре кватернионов. Алгебра ${\displaystyle Cl_{3,0}(R)}$ изоморфна алгебре матриц Паули. Комментарий Если ${\displaystyle K}$ есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда ${\displaystyle E}$ — линейное пространство, а в качестве ${\displaystyle Q(,)}$ используется присущее такому пространству скалярное произведение. Упрощенное "базисное" определение Определим альтернативным образом алгебру Клиффорда в случае когда ${\displaystyle E}$ - векторное (линейное) пространство, на основе заданного базиса этого пространства. Пусть линейное пространство ${\displaystyle E}$ имеет размерность ${\displaystyle 2^{n}}$, где ${\displaystyle n}$ - некоторое натуральное число. Заданный набор базисных векторов упорядочим и введем следующую систему мультииндексных обозначений, каждый индекс, которых пробегает от 1 до n, при при этом используются только упрорядоченные по возрастанию наборы индексов): первый элемент базиса - без индекса, следующие ${\displaystyle n=C_{n}^{1}}$ элементов базиса - с одним индексом, следующие ${\displaystyle C_{n}^{2}}$ элементов с двумя индексами и т.д. (количество элементов базиса с числом индексов i равно ${\displaystyle C_{n}^{i}}$): ${\displaystyle e,e^{a},e^{a_{1}a_{2}},e^{a_{1}a_{2}a_{3}},...,e^{12..n}}$ Несложно видеть, что таким способом охватываются все элементы базиса пространства. Далее вводится ассоциативная, дистрибутивная и линейная слева и справа (относительно поля), операция умножения элементов, обладающая дополнительно следующими свойствами: ${\displaystyle \forall U\in E\qquad eU=Ue=U}$ (унитальность) ${\displaystyle \forall \quad 1<a_{1}<a_{2}<...<a_{k}<=n\qquad e^{a_{1}a_{2}...a_{k}}=e^{a_{1}}e^{a_{2}}...e^{a_{k}}}$ ${\displaystyle \forall a,b\in 1,..,n\qquad e^{a}e^{b}+e^{b}e^{a}=2g^{ab}e}$, где ${\displaystyle g^{ab}}$ - диагональная матрица, первые p элементов которой равны 1, а оставшиеся q=n-p элементов равны -1. Элементы ${\displaystyle e^{a}}$ являются генераторами алгебры Клиффорда, пара чисел ${\displaystyle (p,q)}$ или их разность - сигнатура алгебры. Любой элемент алгебры выражается стандартным образом через элементы базиса - линейная комбинация элементов базиса. Элементы подпространства, натянутого на базисные элементы с k индексами имеют ранг k. С помощью введенной таким образом операции умножения можно ввести в данном линейном пространстве также и скалярное произведение: ${\displaystyle (U,V)=Tr(U^{\dagger }V)}$ где ${\displaystyle Tr}$ - это след элемента, который, по существу равен коэффициенту при единичном элементе алгебры в разложении по базису; ${\displaystyle ^{\dagger }}$ - знак эрмитового сопряжения. Свойства Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых ${\displaystyle x,y\in E}$: ${\displaystyle xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle }$ где ${\displaystyle \left\langle ,\right\rangle }$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q: ${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :={\tfrac {1}{2}}\left(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\right)}$. выражение ${\displaystyle [x,y]:=xy+yx}$ называется антикоммутатором ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Для нулевой квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ алгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ совпадает со внешней алгеброй ${\displaystyle \Lambda (E)}$ ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$. Пусть ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — некоторый базис ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle E}$, тогда элементы вида ${\displaystyle 1,e_{j_{1}}e_{j_{2}}\dots e_{j_{k}}\ (j_{1}<\dots <j_{k},}$ для всех k от 1 по n) или, иначе: ${\displaystyle e_{1}^{\sigma _{1}}e_{2}^{\sigma _{2}}\dots e_{n}^{\sigma _{n}}}$ где ${\displaystyle \sigma _{j}=0,1}$ образуют базис ${\displaystyle K}$-модуля ${\displaystyle Cl(Q)}$. В частности, ${\displaystyle Cl(Q)}$ является свободным ${\displaystyle K}$-модулем ранга (размерности) ${\displaystyle 2^{n}}$ Если, кроме того, ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ ортогональны относительно ${\displaystyle Q}$, то ${\displaystyle Cl(Q)}$ можно задать как ${\displaystyle K}$-алгебру с образующими ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ и определяющими соотношениями ${\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0}$, (${\displaystyle i\not =j}$) и ${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i},e_{i})}$. Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в ${\displaystyle Cl(Q)}$, порождённый произведениями чётного числа элементов из ${\displaystyle E}$, образует подалгебру в ${\displaystyle Cl(Q)}$, которая обозначается через ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и квадратичная форма ${\displaystyle Q(,)}$ невырождена тогда при чётном n алгебра ${\displaystyle Cl(Q)}$ является центральной простой алгеброй над ${\displaystyle K}$ размерности ${\displaystyle 2^{n}}$, подалгебра ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто, то при чётном n ${\displaystyle Cl(Q)}$ — матричная алгебра, a ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр, при нечётном n, наоборот, ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — матричная, а ${\displaystyle Cl(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр. Матричные представления алгебр Клиффорда Уравнение Дирака — важный пример применения представлений ${\displaystyle Cl_{3,1}(\mathbb {R} )}$, которые впервые изучены Этторе Майораной. Литература H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989. Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9 R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine»