Теория унтертонов (нем.Unterton букв. нижний тон/звук; англ.undertone, subharmonic) в музыкально-акустическом учении Артура фон Эттингена и Гуго Римана — представление о звукоряде, в котором последовательность звуков обратна последовательности обертонов (гармоник) натурального звукоряда. Теория унтертонов была призвана объяснить минорное трезвучие как природный феномен. С помощью противопоставления мажорного трезвучия, которое выводилось из натурального звукоряда, минорному (выведенному из унтертонового звукоряда) «акустически» обосновывался «гармонический дуализм» (нем.harmonischer Dualismus) мажорно-минорной тональности.
Имя гармонический унтертон (harmonischer Unterton) ввёл Герман Гельмгольц (1863), обозначая основной тон источника звука, содержащего в спектре обертон, идентичный основному тону резонатора[1][2].
Гармонические унтертоны (harmonische Untertne) изучал также Эттинген[3]. Риман сделал их опорой учения о гармонии в 1870-80 гг, представив их как натуральный унтертоновый ряд (Untertonreihe), дополняя натуральным обертоновым рядом (Obertonreihe). Он твёрдо заявил:
Как бы то ни было, даже если все авторитеты мира выйдут и скажут «мы ничего не слышим», я буду вынужден ответить им: «я слышу нечто и действительно нечто очень чёткое».
когда слышимость унтертонов была поставлена под сомнение[5].
В 1905-м, в обширной статье «Проблема гармонического дуализма» Риман открыто признал, что псевдо-логика ряда унтертонов, выстроенного из ряда обертонов, длительное время его дурачила (нем.getuscht), что отразилось в первых теоретических трудах по гармонии.[6]
К концу жизни Риман по-прежнему придерживался гармонического дуализма, но двойственность обер/унтертоновых звукорядов пояснял скорее психофизическими причинами, чем акустическими, что хорошо заметно в его поздней (1914) статье «Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen»:[7]
Сущность мажорного консонанса — в простейших отношениях возрастания скорости колеблющегося тела (Schwingungsgeschwindigkeit), сущность же минорного консонанса — в простейших отношениях увеличения колеблющейся массы (schwingende Masse) — длины звуковой волны, длины струны и т. д.
Эту перемену в воззрениях Римана исследователи объясняют влиянием на него тон-психологии (Tonpsychologie) Карла Штумпфа[нет в источнике][9].
Схожую с Риманом музыкально-акустическую теорию, где с помощью «субгармонического резонанса» (фр.rsonnanse harmonique infrieure) обосновывалась «природность» минорного трезвучия, выдвигал в конце XIX века французский композитор и педагог Венсан д'Энди[10].
Востребованность
Унтертоновая теория ныне признана достаточно ценной, хотя унтертоновый ряд как физическая действительность не очевиден[11].
«Отвергнутый в науке, вздорный эксперимент Римана продолжает жить в качестве анекдота, который рассказывают и пересказывают бессчётное количество раз на уроках музыкальной теории»[12]. Однако слово унтертон (нем.Unterton, англ.undertone, также англ.subharmonic) закрепилось за разностным комбинационным тоном, который может возникать из-за нелинейных искажений[13] в результате смешивания двух или более звуков (особенно если эти звуки громкие и незатухающие). Поскольку известно, что высоту[14]созвука[англ.][15][16]
выражает не только фундаментал,[17]
но и резидуум,[18]
то в содержимом любого созвука у каждого обертона есть не менее одного унтертона с высотой фундаментала созвука.
Ещё в начале XX века Ф. Крюгер (1901) утверждал, что даже если унтертоны как акустическое явление существуют, они лежат за пределами способности слухового восприятия человека[19]. В 1927 г. Б. ван дер Поль впервые создал экспериментальный колебательный контур, позволявший слышать унтертоны[20]. Унтертоны на электромеханическом инструменте (предшественнике синтезатора) траутониуме воплотил немецкий инженер и органист Фридрих Траутвейн (1930). В развитие идеи траутониума в послевоенной ГДР был создан траутониум с клавишной механикой и электронными генераторами, так называемый субхаркорд (Subharchord).
Низкочастотные призвуки (унтертоны во втором значении) наблюдают также в колоколах, в больших камертонах, в горловом пении и т. д. На органе унтертоны извлекаются сочетанием двух разнонастроенных труб[21]. П.Хиндемит в своём трактате «Unterweisung im Tonsatz» (1937) объяснял низкочастотные разностные тоны на органах практической необходимостью:
Поскольку лабиальные трубы из-за своего размера очень дороги и не везде доступны, то, чтобы не отказываться от самых низких звуков в маленьких органах, органостроители берут две более высокие [по звучанию] (и более маленькие) трубы, которые в одновременном звучании издают, образуя комбинационный тон (Kombinationston), требуемый [низкий] звук.
Такой разностный тон в органостроении получил типологическое обозначение «акустический бас» (англ.acoustic bass)[23], или «результантный бас» (англ.resultant bass)[24].
Helmholtz 1865, p. 76:
«Можно легко убедиться с помощью испытаний в указанных свойствах резонаторов. Вы прислоняете таковые к уху, и пусть играет какой-то полифонический фрагмент музыки любых инструментов, где часто происходит естественный тон резонатора. Так часто как этот тон дается, вооруженное резонатором ухо слышит его проникновение через все другие звуки аккорда.
Слабее, но часто слышны таковые, обозначенные нижними созвуками, а именно, что показывает первое детальное исследование этого случая, когда созвуки даются с одним из гармонических обертонов на собственном тоне резонатора. Называются эти нижние совзвуки гармонические унтертоны тона резонатора. Это созвуки, у которых период колебания в 2, 3, 4, 5 и т. д. раз больше, чем у тона резонатора. Если таков, например, , то можно услышать его звучание, когда музыкальный инструмент играет: . В этих случаях резонатор звучит от одного из обертонов указанного созвука во внешнем воздушном пространстве. Но следует отметить, что созвуки отдельных инструментов не всегда содержат все гармонические обертоны, и они имеют разную силу. В звуках скрипки, фортепиано и фисгармонии первые 5 или 6 наиболее явно присутствуют. Про обертоны струн следует более подробное описание в следующем разделе
(нем.
Man kann sich durch Versuche von den angegebenen Eigenschaften der Resonatoren leicht berzeugen. Man setze einensolchen an das Ohr und lasse irgend ein mehrstimmiges Musikstck von beliebigen Instrumenten ausfhren, in dem fters der Eigen ton des Resonators vorkommt. So oft dieser Ton angegeben wird, wird das mit dem Resonator bewaffnete Ohr ihn gellend durch alle anderen. Tne des Accords hindurchdringen hren.
Schwcher wird es ihn aber oft auch hren, wenn tiefere Klnge angegeben werden, und zwar zeigt die nhere Untersuchung zunchst, dass dies geschieht, wenn Klnge angegeben werden, zu deren harmonischen Obertnen der Eigenton des Resonators gehrt. Man nennt dergleichen tiefere Klnge auch wohl die harmonischen Untertne des Resonator tones. Es sind die Klnge, deren Schwingungsperiode gerade 2, 3, 4, 5 u. s. w. Mal grsser ist, als die des Resonator tones. Ist dieser also z. B. , so hrt man ihn tnen, wenn ein musikalisches Instrument angiebt: In diesen Fllen tnt der Resonator durch einen der harmonischen Obertne des im usseren Luftraume angegebenen Klanges. Doch ist zu bemerken, dass nichtimmer alle harmonischen Obertne in den Klngen der einzelnen Instrumente vorkommen, und dass sie bei verschiedenen auch sehr verschiedene Strke haben. Bei den Tnen der Geigen, des Ciaviers, der Physharmonica sind die ersten 5 oder 6 meist deutlich vorhanden. Ueber die Obertne der Saiten folgt Genaueres im nchsten Capitel)»
Helmholtz H. Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage fr die Theorie der Musik. 6te Aufl. Braunschweig, 1913, S.76; в рус. переводе М.Петухова — «нижний гармонический тон» (Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки. СПб., 1875, с.75).
См.: ttingen A. von. Harmoniesystem in dualer Entwickelung. Dorpat, Leipzig, 1866, S.31.
Rehding 2003, pp. 15-6:
«англ.When Riemann’s contention that the undertones are audible was not conrmed by others, he fiercely defended his position: However this may be, and if all the authorities in the world appeared and said: ‘We cannot hear anything’, I would still have to say: ‘I can hear something, something very distinct.»
Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus // Neue Zeitschrift fr Musik, 72. Leipzig, 1905, S.23-4:
«Также А. ф. Эттингена утверждение с таковым Гауптмана полностью тождественно, потому что он „фоническому обертону“, то есть первому тону, который в обертонрядах 3[-х] тонов минорнаккорда встречается, значение центра тонсвязей приписывает: Таким образом, и Эттинген держит в конце концов все же для обоснования минорного созвучия по явлению обертонов неподвижность и даёт минораккорду даже три основных тона, вокруг косвенно одного, чтобы получить общий тон. То, что он затем говорит, позже устраняет обертонряд и из найденного таким образом фонического централтона ретроспективно (с. 31) весь ряд тонов, из которых одинаковый обертон есть, от понятия Гельмгольца (с.76) также ряд гармонических унтертонов вводится: <даётся нотный пример на изображении слева> смотрится хотя затем как основополагающее взаимосвязи минорного созвучия в этом ряду, но этого всё же на самом деле нет. Я признаю открыто, что псевдо-логика этого из обертонряда выстроенного унтертонряда меня самого длительное время дурачила и также в моих первых гармониотеоретических трудах все еще сохраняется. (нем.
Auch A. v. Oettingens Erklrung ist mit derjenigen Hauptmanns vollkommen identisch, da er dem "phonischen Obertone", d. h. dem ersten Tone, der sich in den Obertonreihen der 3 Tne des Mollakkords findet, die Bedeutung des Zentrums der Tonbeziehungen zuschreibt: <...> Also auch Oettingen hlt schliesslich doch an der Begrndung der Mollkonsonanz durch das Phnomen der Obertne fest und gibt dem Mollakkorde sogar drei Grundtne, um mittelbar den einigenden gemeinsamen Ton zu erhalten. Dass er dann sozusagen nachtrglich die Obertonreihe eliminiert und von dem auf diese Manier gefundenen phonischen Zentraltone aus rckblickend (S. 31) die ganze Reihe der Tne, von denen der selbe Oberton ist, mit Helmholtz' Terminus (S. 76) als Reihe der harmonischen Untertne einfhrt: <...> sieht zwar dann aus wie eine prinzipielle Beziehung der Mollkonsonanz auf diese Reihe, ist das aber doch tatschlich nicht. Ich gestehe offen, dass die Pseudologik dieser aus Obertonreihen heraus konstruierten Untertonreihe mich selbst lngere Zeit getuscht hat und auch in meinen ersten harmonietheoretischen Schriften noch zu spren ist.)»
Jahrbuch der Musikbibliothek Peters 21 (1914), SS. 1-26.
Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus <...>, S.43.
Mnnich R. Von [der] Entwicklung der Riemannschen Harmonielehre und ihrem Verhltnis zu Oettingen und Stumpf // Riemann-Festschrift. Leipzig, 1909, SS. 60-76.
См. в его кн.: Cours de composition musicale. Livre 1. Paris: Durand, 1912, p.98-101.
Например, см. статью КлюмпенхауэраАрхивная копия от 11 июня 2016 на Wayback Machine в «Кембриджской истории западной музыкальной науки» (библиографическое описание ниже), с. 465:
«Остается только сказать здесь, что аргументация Римана в интересах унтертонового ряда привела к некоторому количеству бесплодных закоулков и издержала много энергии впустую с его стороны. Сделалось очевидным, с некоторым сожалением, — но, вероятно, также значительным облегчением — что в конце своей жизни, он вчистую оставил поиски акустического доказательства для этого ряда и взамен положил психологическое обоснование. Следует подчеркнуть, однако, что эвристическая ценность онтологического дуализма Римана вовсе не зависима от какого-то природного подтверждения унтертонового ряда. Его предельное оправдание приходит в логической и явной аккордовой сети родственностей, что дуалистическая перспектива предоставляет.
(англ.
It only remains to say here that Riemann's argumentation on behalf of the undertone series led to any number of unfruitful byways and expended much wasted energy on his part. It was obviously with some regret — but probably also considerable relief — that at at the end of his life, he nally abandoned the search for an acoustical proof for the series and instead posited a psychological grounding . It should be emphasized, however, that the heuristic value of Riemann's ontological dualism is by no means dependent upon any natural justication of the undertone series. Its ultimate vindication comes in the logical and revealing network of chord relationships that a dualist perspective affords.)».
Rehding A. Hugo Riemann… (см. библиографическое описание ниже), pp.16-17.
Reinecke H.-P. Riemanns Beobachtungen von «Divisionstnen» und die neueren Anschauungen zur Tonhhenwahrnehmung // Hans Albrecht in memoriam. Kassel, 1962, SS.232-241.
IEV 1994, 801-29-01:
«высота
та определённость слухового ощущения, в условиях которой звуки могут быть упорядочены по шкале, которая тянется от низкого до высокого
Примечание 1 — Высота сложной волны зависит в первую очередь от частотного содержимого стимула, но она также зависит от звукового давления и формы сигнала.
Примечание 2 — Высота звука может быть описана по частоте того чистого тона, имеющего заданный уровень звукового давления, который есть оценен через субъектов, чтобы давать такую же высоту (англ.
pitch
that attribute of auditory sensation in terms of which sounds may be ordered on a scale extending from low to high
Note 1 — The pitch of a complex wave depends primarily upon the frequency content of the stimulus, but it also depends upon the sound pressure and the waveform.
Note 2 — The pitch of a sound may be described by the frequency of that pure tone having a specified sound pressure level that is judged by subjects to produce the same pitch)» http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-29-01Архивная копия от 28 апреля 2017 на Wayback Machine
Риман 1896 по Энгелю 1901, с. 1201:
«Созвукъ (нем. Klang). Съ тхъ поръ какъ извстно, что каждый звукъ нашихъ музык. инструментовъ представляетъ собой не простой тонъ, а состоитъ изъ цлаго ряда простыхъ тоновъ (которые обыкновенно не замчаются нами, но при напряженномъ вниманіи вполн различимы), появилась необходимость въ новомъ термин, подъ которымъ подразумвалось бы понятіе боле широкое, чмъ „тонъ“ и боле спеціальное, чмъ „звукъ“. Такимъ терминомъ является с., понимаемый какъ совокупность составляющихъ музыкальный звукъ тоновъ, въ противоположность простому „тону“, какъ составной части с-а. С. получаетъ свое названіе отъ самаго нижняго (обыкновенно самаго сильнаго и слышнаго) изъ составляющихъ его тоновъ <…> фундаментальнаго, основнаго» http://enc.biblioclub.ru/Termin/74609_SozvukАрхивная копия от 1 июля 2016 на Wayback Machine
Partch 1974, с. 70:
«Гармоническое содержимое: практически синонимично качеству тона; выражение использовалось для обозначения той характеристики музыкального тона, которая определяется распределением и сравнительной энергией его партиалов или гармоник; созвук. (англ.
Harmonic Content: practically synonymous with quality of tone; the term used to indicate that characteristic of a musical tone which is determined by the distribution and comparative energy of its partials, or harmonics; the klang.)»
Schouten 1940, cс. 356-61:
«Это факт, что высота равная таковой от фундаментала приписывается даже тем звукам, в которых фундаментал не присутствует <…> одна или несколько составляющих могут быть восприняты, которые не соответствуют какому-то отдельному синусоидальному колебанию, но которые являются коллективным проявлением каких-то из этих колебаний, которых нет или почти не почувствовать отдельно. Эти компоненты (резидуумы) имеют нечистое резкое тон-качество <…> гармоники высокие по частоте воспринимаются как подлежащая составляющая почти самая низкая по высоте (англ.
It is a fact that a pitch equal to that of the fundamental tone is ascribed even to those sounds in which the fundamental tone is not present <...> one or more components may be perceived which do not correspond with any individual sinusoidal oscillation, but which are a collective manifestation of some of those oscillations which are not or scarcely individually perceptible. These components (residues) have an impure, sharp tone-quality <...> the harmonics highest in frequency are perceived as a subjective component almost lowest in pitch)»
Krueger F. Zur Theorie der Combinationstne // Philosophische Studien 17 (1901).
Pol B. van der. ber Relaxationsschwingungen // Zeitschrift fr Hochfrequenztechnik 19 (1927).
Дорофеев Д.Л.Унтертон // Большая российская энциклопедия. Том 33. — М., 2017. — С. 47.
ttingen A. von. Harmoniesystem in dualer Entwickelung. Dorpat, Leipzig, 1866; 2-е расшир. издание под назв.: Das duale Harmoniesystem. Leipzig, 1913.
Riemann H. Die objektive Existenz der Untertne in der Schallwelle // Allgemeine Deutsche Musikzeitung, 5 (1875).
Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus; ein Beitrag zur sthetik der Musik // Neue Zeitschrift fr Musik, 72 (Leipzig, 1905), SS. 3-5, 23-6, 43-6, 67-70.
Vogel M. Arthur von Oettingen und der harmonische Dualismus // Beitrge zur Musiktheorie des neunzehnten Jahrhunderts. Regensburg, 1966.
Rehding A. Hugo Riemann and the birth of modern musical thought. Cambridge, 2003. ISBN 0-521-82073-1.
Klumpenhouwer H. Dualist tonal space and transformation in nineteenth-century musical thought // The Cambridge history of Western music theory. 6th ed. Cambridge, 2008, p. 456—476.
