Меню Главная Случайная статья Настройки Уравнение Льенара Материал из https://ru.wikipedia.org Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Связанные определения 3.1 Система Льенара 3.2 Теорема Льенара 4 См. также 5 Примечания Определение Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём ${\displaystyle g}$ — нечётная функция, а ${\displaystyle f}$ — чётная. Тогда уравнение вида ${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$ называется уравнением Льенара.[1] Кроме того, уравнение Льенара можно[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену ${\displaystyle v={dx \over dt}}$. Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: ${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$ Примеры Осциллятор Ван дер Поля ${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$ имеет вид уравнения Льенара при ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\mu (1-x^{2})\\g(x)=x\end{matrix}}\right.}$. Связанные определения Система Льенара Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений. Пусть ${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$; ${\displaystyle x_{1}:=x}$; ${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$. Тогда система вида ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$ называется системой Льенара. Теорема Льенара Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам: ${\displaystyle g(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x>0}$; ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$ ${\displaystyle F(x)}$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра ${\displaystyle p}$, причём ${\displaystyle F(x)<0}$ при ${\displaystyle 0<x<p}$ и ${\displaystyle F(x)>0}$ и монотонна при ${\displaystyle x>p}$. См. также Осциллятор Примечания Linard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues, " Revue gnrale de l'lectricit 23, pp. 901—912 and 946—954. Linard equation Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld. Abel equation of the second kind Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld.