Меню Главная Случайная статья Настройки Участник:FeelUs/КТП Материал из https://ru.wikipedia.org Содержание 1 символы, обозначения и соглашения 1.1 символы 1.2 соглашения 2 основная логика: 3 1++. Кинематика и сечения 3.1 Нормировки ВФ 3.2 кинематика 3.3 Инвариантное сечение 3.4 Ширины Г 3.5 фазовые объемы 4 1+. Кванты и представления 4.1 1+.1. Шрёдингер: 4.2 1+.2. Гайзенберг: 4.3 1+.3. Дирак (представление взаимодействия): 4.3.1 1+.3.1. из Шрёдингера 4.3.2 1+.3.2. из Гайзенберга 4.3.3 1+.3.3. новое вакуумное состояние 5 1. Лагранжев Формализм 5.1 1.0. Действие 1d, 4d, Вариация = 0 5.2 1.1. Уравнения Лагранжа (из 1.0.) 5.3 1.3. Теорема Нётер (из 1.0 и 1.1) 5.4 1.2. Тензор энергии-импульса (из 1.0. и 1.1. или из 1.3) 5.5 1.5. Гамильтониан, уравнения Гамильтона, Плотность Гамильтониана (из ...) 6 2. Свободные поля с пропагаторами и теоремами Вика 6.1 2.1. Скалярное действительное 6.1.1 2.1.1. Классическое 6.1.1.1 2.1.1.0. уравнение К-Г - Клейна-Гордона(-Фока) (которое придумал Шрёдингер) 6.1.1.2 2.1.1.1. Функции Грина 6.1.2 2.1.2 Квантовое 6.1.2.1 2.1.2.1. Состояния 6.1.2.2 2.1.2.2. Эволюция: 6.1.2.3 2.1.2.3. Пропагатор - амплитуда распространения частицы 6.1.2.4 2.1.2.4. Теорема Вика 6.2 2.2. Скалярное комплексное 6.2.1 2.2.1. Классическое 6.2.1.1 2.1.1.0. уравнение К-Г - Клейна-Гордона(-Фока) 6.2.1.2 2.2.1.1. Функции Грина 6.2.2 2.2.2. Квантовое 6.2.2.1 2.2.2.1. Состояния 6.2.2.2 2.2.2.2. Эволюция: 6.2.2.3 2.2.2.3. Пропагатор - амплитуда распространения частицы 6.2.2.4 2.2.2.4. Теорема Вика 6.3 2.3. Спинорное 6.3.1 2.3.1. Арифметика '"`UNIQ--postMath-00000108-QINU`"' матриц 6.3.2 2.3.2. Преобразования Лоренца 6.3.3 2.3.3. Классическое 6.3.4 2.3.4. Уравнение Дирака 6.3.5 2.3.5. функция Грина 6.3.6 2.3.6. Квантуем 6.3.6.1 2.3.6.1. Состояния 6.3.6.2 2.3.6.2. Пропагатор 6.3.6.3 2.3.6.3. теорема Вика 6.4 2.4. Электромагнитное 6.5 2.5. Векторное массивное 6.5.1 Функция Грина 7 2+ Итого пропагаторы и матрицы плотности ('"`UNIQ--postMath-00000174-QINU`"') 7.1 2.1+ Скалярное действительное 7.2 2.2+ Скалярное комплексное 7.3 2.3+ Спинорное 7.4 2.4+ Электромагнитное 7.5 2.5+ Векторное массивное 8 4. Взаимодействия и правила Фейнмана 8.1 4.1. К-Г '"`UNIQ--postMath-00000183-QINU`"' 8.1.1 Корреляционная функция (Пескин 4.4) 8.1.2 Матричный элемент (Пескин 4.6) 8.2 4.2. теория Юкавы: Дирак + К-Г '"`UNIQ--postMath-0000019C-QINU`"' 8.2.1 Потенциал Юкавы 8.3 4.3. КЭД: Дирак + Максвелл '"`UNIQ--postMath-0000019E-QINU`"' 8.3.1 Классическая электродинамика 8.3.2 Квантовая электродинамика 8.3.3 процессы 8.4 4.4. скалярная электродинамика: К-Г + Максвелл + '"`UNIQ--postMath-000001AD-QINU`"' 8.4.1 Абелев механизм Хиггса 8.5 4.5 Теория Янга-Миллса (SU(2)-инвариантная) 8.5.1 Неабелев механизм Хиггса 9 Электрослабая теория (Вайнберга-Салама) 9.1 Одно поколение лептонов 9.2 Массы калибровочных бозонов 9.3 Самодействия калибровочных бозонов 9.4 Масса и самодействие Хиггса 9.5 Взаимодействия фермионов с калибровочными бозонами 9.6 Массы фермионов 9.7 Смешивание фермионов символы, обозначения и соглашения символы en:Wikipedia:LaTeX_symbols ${\displaystyle {\mathcal {L}}\quad {\mathcal {H}}\quad {\mathcal {P}}\quad {\mathcal {M}}\quad {\vec {x}}\quad {\dot {x}}\quad {\hat {x}}\quad {\bar {x}}\quad {\tilde {x}}\quad {\sqrt {x}}\quad {\frac {x}{x}}\quad \partial \!\!\!/\quad \hbar \quad \phi \quad \varphi \quad \epsilon \quad \varepsilon \quad \theta \quad \vartheta \quad \pm \quad \mp \quad \times \quad \otimes \quad \cdot \quad \Rightarrow \quad \rightarrow \quad \infty \quad \ldots }$ ${\displaystyle \quad A\;\langle _{\!\!\!\!0}|\rangle \quad [\;]\quad \{\}\quad \int _{a}^{b}\sum _{i}^{n}\prod _{i}^{n}\lim _{x}^{y}\sin \cos \dim \mathop {\rm {Tr}} \operatorname {Tr} {\begin{cases}1,&2\\3,&4\end{cases}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1,&2\\3,&4\end{pmatrix}}\quad }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1,&2\\3,&4\end{bmatrix}}\quad }$ ${\displaystyle \mathop {\rm {argmax}} \limits _{\theta \in \Theta }L}$ соглашения у Пескина: ${\displaystyle p^{\mu }=(E,+{\vec {p}})=i\partial ^{\mu }=(i{\frac {d}{dt}},-i{\vec {\nabla }})}$ ${\displaystyle p_{\mu }=(E,-{\vec {p}})=i\partial _{\mu }=(i{\frac {d}{dt}},+i{\vec {\nabla }})}$ ${\displaystyle i\partial ^{\mu }(e^{-ikx})=k^{\mu }e^{-ikx}}$ Обратите внимание на разные пространственные знаки в ${\displaystyle p^{\mu }}$ и ${\displaystyle i\partial ^{\mu }}$ а также в ${\displaystyle p_{\mu }}$ и ${\displaystyle i\partial ;_{\mu }}$ основная логика: В кинематике и сечении понимаем, что для вычисления сечения нужно посчитать матричный элемент В квантах и представлениях мы понимаем, что для вычисления матричного элемента в возмущенной теории достаточно посчитать Т упорядочение в невозмущенной. В каждом поле имеется своя вариация теоремы Вика, которая говорит, что Т упорядочение можно вычислить через нормальное упорядочение и свертки И в конце мы из этих сверток конструируем диаграммы 1++. Кинематика и сечения Нормировки ВФ Распределение (${\displaystyle f(x)=f(x')dx'/dx}$) на массовой поверхности: ${\displaystyle {\frac {dp'^{z}}{dp^{z}}}=\beta +\beta \gamma {\frac {dE}{dp^{z}}}=\beta +\beta \gamma {\frac {d{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}{dp^{z}}}=\beta +\beta \gamma {\frac {p^{z}}{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}={\frac {\beta E+\beta \gamma p^{z}}{E}}={\frac {E'}{E}}\quad \Rightarrow }$ если ${\displaystyle f(p)=|\phi (p)|^{2}}$, то ${\displaystyle {\sqrt {2E_{p}}}\phi (p)={\sqrt {2E_{p'}}}\phi (p')}$. 2 - удобен из-за похожего множителя в квантовом решении, а может из-за знаменателя в пропагаторе. ${\displaystyle (2\pi )\delta (0)=\int e^{-i0x}dx=\lim _{L\to \infty }L}$ ${\displaystyle \langle {\vec {p}}|{\vec {k}}\rangle =2E_{p}(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\vec {p}}-{\vec {k}})}$ - лоренц-инвариантно, т.к. энергия всегда зависит от импульсов, то всё это дело должно располагаться на массовой поверхности ...${\displaystyle j^{\mu }=2|N|^{2}p^{\mu };\qquad \rho =2|N|^{2}E_{p};\qquad W=\rho V:=2E_{p};\qquad 2E_{p}}$ частиц в объеме V ${\displaystyle \langle {\vec {x}}|{\vec {y}}\rangle =(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {y}})}$ - кажется уже нет (?) - да, время не зависит от пространственных координат ${\displaystyle |\psi \rangle =\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {\psi _{p}({\vec {p}})}{\sqrt {2E_{p}}}}|{\vec {p}}\rangle =\int d^{3}{\vec {x}}\psi _{x}({\vec {x}})|{\vec {x}}\rangle }$ НКМ: ${\displaystyle \langle {\vec {x}}|{\vec {\hat {p}}}|{\vec {p}}\rangle ={\vec {p}}\langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle =-i{\vec {\nabla }}\langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle \;\Rightarrow \;\langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle =e^{+i{\vec {p}}{\vec {x}}}}$ КТП: ${\displaystyle \langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle ={\sqrt {2E_{p}}}e^{+i{\vec {p}}{\vec {x}}}}$ ${\displaystyle \psi _{p}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}e^{-i{\vec {q}}{\vec {x}}}\psi _{x}({\vec {x}});\qquad \psi _{x}({\vec {y}})=\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}}{(2\pi )^{3}}}e^{+i{\vec {p}}{\vec {y}}}\psi _{p}({\vec {p}})}$ ${\displaystyle |{\vec {q}}\rangle ={\sqrt {2E_{q}}}\int d^{3}{\vec {x}}e^{+i{\vec {q}}{\vec {x}}}|{\vec {x}}\rangle ;\qquad |{\vec {y}}\rangle =\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {e^{-i{\vec {p}}{\vec {y}}}}{\sqrt {2E_{p}}}}|{\vec {p}}\rangle }$ ${\displaystyle }$ кинематика ${\displaystyle p_{A}+p_{B}=p_{1}+p_{2}}$ ${\displaystyle s=(p_{A}+p_{B})^{2}=(p_{1}+p_{2})^{2}=m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+2p_{A}p_{B}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}}$ ${\displaystyle t=(p_{A}-p_{1})^{2}=(p_{B}-p_{2})^{2}=m_{A}^{2}+m_{1}^{2}-2p_{A}p_{1}=m_{B}^{2}+m_{2}^{2}-2p_{B}p_{2}}$ ${\displaystyle u=(p_{A}-p_{2})^{2}=(p_{B}-p_{1})^{2}=m_{A}^{2}+m_{2}^{2}-2p_{A}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{B}^{2}-2p_{1}p_{B}}$ ${\displaystyle s+t+u=m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle E_{1}^{2}E_{2}^{2}|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|^{2}=(p_{1}p_{2})^{2}-m_{1}^{2}m_{2}^{2}}$ - только если ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}||{\vec {v}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{rel}}$ - скорость одной частицы в системе покоя другой ${\displaystyle (p_{1},p_{2})^{2}{\vec {v}}_{rel}^{2}=E_{1}^{2}E_{2}^{2}(({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})^{2}-[{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}]^{2})=(p_{1},p_{2})^{2}-m_{1}^{2}m_{2}^{2}}$ в СЦМ ${\displaystyle {\vec {q}}_{12}={\vec {p}}_{1}=-{\vec {p}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {q}}_{12}^{2}={\frac {(p_{1}p_{2})^{2}-m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{s}}={\frac {\lambda (s,m_{1}^{2},m_{2}^{2})}{4s}}}$ ${\displaystyle \lambda (a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca=(a-({\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})^{2})(a-({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}})^{2})=}$ ${\displaystyle =-({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}})({\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}-{\sqrt {b}})({\sqrt {c}}+{\sqrt {b}}-{\sqrt {a}})}$ ${\displaystyle y={\frac {E_{k_{1}}-E_{k_{2}}}{E_{k_{1}}}}={\frac {(p_{1},(k_{1}-k_{2}))}{(p_{1},k_{1})}}}$ - Бьёркиновский y ${\displaystyle x=...}$ - Бьёркиновский x Инвариантное сечение ${\displaystyle \lambda }$ пучка << расстояния между рассеивающими центрами - чтобы не было когерентного рассеяния мишень тонкая - чтобы не было многократного рассеяния ${\displaystyle \Delta N}$ - число событий ${\displaystyle {\vec {j}}=n_{1}{\vec {v}}_{1}}$ - налетающий поток ${\displaystyle N_{c}=n_{02}\Delta V}$ - число рассеивающих центров, ${\displaystyle n_{02}}$ - покоящихся, ${\displaystyle n_{2}}$ - движущихся ${\displaystyle \Delta N=|{\vec {j}}|\Delta tN_{c}\sigma =n_{1}n_{02}|{\vec {v}}_{1}|\Delta t\Delta V\sigma ={\frac {n_{1}}{E_{1}}}{\frac {n_{02}}{m_{2}}}E_{1}m_{2}|{\vec {v}}_{1}|\Delta t\Delta V\sigma ={\frac {n_{1}}{E_{1}}}{\frac {n_{2}}{E_{2}}}(p_{1},p_{2})|v_{rel}|\Delta t\Delta V\sigma }$ ${\displaystyle \varphi _{i}(x)={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{-ip_{i}x}}$ далее V - чисто нормировка ${\displaystyle \langle f|T|i\rangle =-i{\mathcal {M}}\int \varphi _{3}^{*}(x)\varphi _{4}^{*}(x)\varphi _{1}(x)\varphi _{2}(x)d^{4}x=-i{\frac {\mathcal {M}}{V^{2}}}\int e^{i(p_{i}-p_{f})x}d^{4}x=-i{\frac {\mathcal {M}}{V^{2}}}(2\pi )^{4}\delta ^{4}(p_{i}-p_{f})=-i{\frac {\mathcal {M}}{V^{2}}}TV}$ ${\displaystyle |\langle f|T|i\rangle |^{2}=-i{\frac {|{\mathcal {M}}|^{2}}{V^{4}}}(2\pi )^{4}\delta ^{4}(p_{i}-p_{f})TV}$ - плотность вер-ти по фаз. объему конечных частиц ${\displaystyle W=-i{\frac {|{\mathcal {M}}|^{2}}{V^{4}}}(2\pi )^{4}\delta ^{4}(p_{i}-p_{f})TV\int {\frac {d^{3}p_{3}V}{(2\pi )^{2}2E_{p_{3}}}}\int {\frac {d^{3}p_{4}V}{(2\pi )^{2}2E_{p_{4}}}}}$ - вероятность перейти из i в f ${\displaystyle w={\frac {W}{TV}}}$ - вероятность перейти из i в f в ед. времени в ед. объема ${\displaystyle j=n_{1}n_{2}{\frac {p_{1},p_{2}}{E_{1}E_{2}}}|v_{rel}|={\frac {n_{1}}{E_{1}}}{\frac {n_{2}}{E_{2}}}(p_{1},p_{2})|v_{rel}|={\frac {4}{V^{2}}}(p_{1},p_{2})|v_{rel}|}$ - инвариантный поток ${\displaystyle N=d\sigma jTV}$ - число событий ${\displaystyle d\sigma j=w}$ - число событий в ед. вр в ед. объема ${\displaystyle \Delta N=|{\vec {j}}|\Delta tN_{c}\sigma =n_{1}n_{02}|{\vec {v}}_{1}|\Delta t\Delta V\sigma ={\frac {n_{1}}{E_{1}}}{\frac {n_{02}}{m_{2}}}E_{1}m_{2}|{\vec {v}}_{1}|\Delta t\Delta V\sigma ={\frac {n_{1}}{E_{1}}}{\frac {n_{2}}{E_{2}}}E_{1}E_{2}|v_{1}-v_{2}|\Delta t\Delta V\sigma }$ Лоренц-инвариантны: ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{E_{1}}};\qquad \Delta t\Delta V;\qquad \Delta N}$ ${\displaystyle E_{1}E_{2}|v_{1}-v_{2}|}$ - лоренц-инвариантно, только если ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}||{\vec {v}}_{2}}$, по этому далее считаем ${\displaystyle v_{1}=v_{1}^{z};\quad v_{2}=v_{2}^{z};}$ далее по Пескину, раздел 4.5. ${\displaystyle \langle f|S|i\rangle =\langle f|1+iT|i\rangle }$ - отбрасываем то, что не взаимодействует, считаем ${\displaystyle \langle f|i\rangle =0}$ ${\displaystyle \langle {\vec {p}}_{1}{\vec {p}}_{2}\ldots |iT|{\vec {p}}_{A}{\vec {p}}_{B}\rangle =(2\pi )^{4}\delta ^{4}(p_{1}+p_{2}+\ldots -p_{A}-p_{B})i{\mathcal {M}}(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{A},p_{B})}$ - закон сохранения импульсов выполнится в любом случае