Фальк — воспитанник клуба «Оденсе». 16 мая 2010 года в матче против «Орхуса» он дебютировал в датской Суперлиги[4]. 14 марта 2011 года в поединке против «Люнгбю» Расмус забил свой первый гол за клуб[5]. В том же году в матчах Лиги Европы против краковской «Вислы» Фальк забил два гола[6][7].
Летом 2016 года Фальк перешёл в «Копенгаген», подписав контракт на четыре года[8]. 23 июля в матче против «Эсбьерга» он дебютировал за новый клуб в чемпионате[9]. В этом же поединке Расмус забил свой первый гол за «Копенгаген».
