Меню Главная Случайная статья Настройки Филинг-радиус Материал из https://ru.wikipedia.org Филинг-радиус — метрическая характеристика Риманова многообразия. Предложенa Громовым в 1983 году. Он использовал филинг-радиус в доказательстве систолического неравенства для существенных многообразий. Содержание 1 Кривые на плоскости 2 Определение 3 Свойства 4 Примечания 5 Литература Кривые на плоскости Филинг-радиус (${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$) замкнутой кривой C на плоскости определяется как наибольший радиус ${\displaystyle R>0}$ круга, который содержится внутри кривой. Филинг-радиус кривой C можно также определить как точную нижнюю грань из ${\displaystyle \varepsilon >0}$ таких, что кривая C стягивается в точку в своей ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности. Определение Обозначим через A кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, в зависимости от того, является ли Х ориентируемым или нет. Тогда фундаментальный класс, обозначамый [X], компактного n-мерного многообразия X, является образующей группы гомологии ${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$, и мы полагаем ${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$ где ${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$ обозначает вложение Куратовского Х в пространство ограниченных функций на Х. Свойства В любой размерности ${\displaystyle n}$ существует константа ${\displaystyle c_{n}}$, что неравенство ${\displaystyle (\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M}$ выполняется для любого замкнутого риманова ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$. Это основное свойство филинг-радуиса, которое используется Громовым в доказательстве систолического неравенства; доказательство с существенными упрощениями и улучшенной константой приведено Александром Набутовским.[1] Для данного многообразия ${\displaystyle M}$ размерности хотя бы 3, оптимальная константа ${\displaystyle c(M)}$ в неравенстве ${\displaystyle (\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)}$ зависти только от размерности ${\displaystyle M}$ и его ориентируемости.[2] Филинг-радиус не превосходит трети диаметра.[3] Равенство достигается для вещественного проективного пространства с канонической метрикой. В частности, филинг-радиус единичной окружности с индуцированной римановой метрикой равен /3, то есть одной шестой её длины. Систоль существенного многообразия не превышает шести его филинг-радиусов. Это неравенство становится равенством для вещественных проективных пространств, как указано выше. Радиус инъективности компактного многообразия M даёт нижнюю границу на филинг-радиус. А именно, ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1}}.}$ Примечания Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. arXiv:1909.12225 Brunnbauer, Michael, Filling inequalities do not depend on topology. J. Reine Angew. Math. 624 (2008), 217–231. Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505–511. Литература Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147. Katz, M.: The filling radius of two-point homogeneous spaces. Journal of Differential Geometry 18, Number 3 (1983), 505—511. Katz, Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 137, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC 77716978