Финлейсон прошел через молодежную систему «Рейнджерс». В феврале 2020 года он был отдан в аренду в клуб чемпионшипа ЮСЛ «Ориндж Каунти» вместе с Кэмми Палмер и Мэттью Шилсом в рамках партнерства между шотландским и американским коллективами[3]. Он дебютировал за клуб в лиге 16 июля 2020 года в матче против «Финикс Райзинг»[4].
«Сент-Миррен»
5 октября 2020 года Финлейсон вернулся в Шотландию, чтобы присоединиться к «Сент-Миррену» на основе арендной сделки на сезон с возможностью выкупа за нераскрытую сумму[5]. 21 мая 2021 года клуб объявил, что воспользовался опцией выкупа и подписал с Финлейсоном двухлетний контракт[6]. В октябре 2021 года был отдан в аренду в «Келти Хартс»[7].
«Линфилд»
В июне 2022 года до конца сезона Финлейсон был отдан в аренду в клуб «Линфилд»[2]. В апреле 2023 года стал полноценным игроком команды[8].
«Ливингстон»
13 мая 2024 года было официально объявлено, что Финлейсон присоединиться к шотландскому клубу «Ливингстон».