Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Лейбница (производной произведения) Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Лейбница для ${\displaystyle n}$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай ${\displaystyle n}$-кратного дифференцирования. Пусть функции ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ — ${\displaystyle n}$ раз дифференцируемые функции, тогда ${\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты. Примеры При ${\displaystyle n=1}$ получается известное правило производной произведения: ${\displaystyle (f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.}$ В случае ${\displaystyle n=2}$ имеем: ${\displaystyle (f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{C_{2}^{k}f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.}$ В случае ${\displaystyle n=3}$: ${\displaystyle (f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.}$ В случае ${\displaystyle n=4}$: ${\displaystyle (f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.}$ Доказательство и обобщение Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде: ${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}$ Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и ${\displaystyle R=P\circ Q}$. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство: ${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$ Непосредственное вычисление дает: ${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$ Эта формула также известна как формула Лейбница. Литература Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.