Меню Главная Случайная статья Настройки Формула Плюккера Материал из https://ru.wikipedia.org Формула Плюккера — одна из семейства формул, выведенных немецким математиком и физиком Плюккером в 1830-х годах. Формулы связывают некоторые инварианты алгебраических кривых и инварианты дуальных им кривых. Инвариант, называемый родом и являющийся общим как для кривой, так и для дуальной ей кривой, связан с другими инвариантами похожими формулами. Эти формулы и тот факт, что каждый из этих инвариантов должен быть положительным целым числом, накладывают строгие ограничения на возможные значения инвариантов. Содержание 1 Инварианты Плюккера и базовые уравнения 2 Кривые без особых точек 3 Типы кривых 4 Примечания 5 Ссылки Инварианты Плюккера и базовые уравнения Кривая в этом контексте задаётся невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости. Прямые в этой плоскости соответствуют точкам дуальной проективной плоскости, а прямые, касательные к данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам на алгебраической кривой C*, называемой дуальной кривой. Точки же кривой C соответствуют прямым, касательным к C*, так что дуальной кривой для C* будет C. Первые два инварианта, участвующие в формулах Плюккера — это степень d кривой C и степень d*, называемая классом кривой C. Геометрически d — это число точек пересечения произвольной прямой и C, включая комплексные точки и бесконечно удалённые точки с учётом кратности. Класс d* — это число касательных к C, проходящих через произвольную точку плоскости. Например, коническое сечение имеет и степень, и класс 2. Если у кривой C нет особых точек, первая формула Плюккера утверждает, что ${\displaystyle d^{*}=d(d-1),}$ но для кривых с особыми точками формулу нужно подправить. Пусть  — число обыкновенных двойных точек кривой C, то есть имеющих различные касательные (такие точки называются точками самопересечения[англ.]) или изолированных, а  — число каспов, то есть точек, имеющих единственную касательную. Если кривая C имеет особенности более высокой степени, то они рассматриваются как несколько особых точек, согласно анализу природы особенности. Например, обыкновенная тройная точка считается как три двойных точки. Опять же, мнимые точки и точки на бесконечности также учитываются. Уточнённая форма первого равенства Плюккера имеет вид ${\displaystyle d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .}$ Подобным образом, пусть * — число обыкновенных двойных точек, а * — число каспов кривой C*. Вторая формула Плюккера утверждает, что ${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .}$ Геометрически обыкновенная двойная точка кривой C* — прямая, касающаяся кривой в двух точках (бикасательная), а касп кривой C* — точка перегиба. Первые два уравнения Плюккера имеют двойственные версии: ${\displaystyle d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},}$ ${\displaystyle \kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.}$ Эти четыре равенства, фактически, не являются независимыми, так что любые три могут быть использованы для вывода четвёртого. Если заданы любые три из шести инвариантов d, d*, , *, и *, то остальные три можно по ним вычислить. Наконец, геометрический род кривой C можно определить по формуле ${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .}$ Это равенство эквивалентно двойственному ${\displaystyle g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}}$. Всего мы имеем четыре независимых уравнения с семью неизвестными, и при задании трёх неизвестных остальные четыре могут быть вычислены. Кривые без особых точек Важный частный случай — когда кривая C не имеет особых точек, то есть и равны 0, так что оставшиеся инварианты можно вычислить в терминах исключительно d: ${\displaystyle d^{*}=d(d-1)}$ ${\displaystyle \delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)}$ ${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)}$ ${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2).}$ Так, например, плоская квартика без особых точек имеет род 3, имеет 28 бикасательных и 24 точки перегиба. Типы кривых Кривые классифицируются по типам согласно их инвариантам Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с тем ограничением, что инварианты должны быть натуральными числами, сильно ограничивают число возможных типов кривых заданной степени. Проективно эквивалентные кривые должны иметь тот же тип, но кривые одного и того же типа, вообще говоря, не эквивалентны проективно. Кривые степени 2 — конические сечения — имеют единственный тип, задаваемый равенствами d=d*=2, =*==*=g=0. Для кривых степени 3 возможны три типа с инвариантами[1] Тип d d* * * g (i) 3 6 0 0 0 9 1 (ii) 3 4 1 0 0 3 0 (iii) 3 3 0 0 1 1 0 Кривые типов (ii) и (iii) — это рациональные кубические кривые, с обыкновенной двойной точкой и каспом соответственно. Кривые типа (i) не имеют особых точек (эллиптические кривые). Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов с инвариантами[2] Тип d d* * * g (i) 4 12 0 28 0 24 3 (ii) 4 10 1 16 0 18 2 (iii) 4 9 0 10 1 16 2 (iv) 4 8 2 8 0 12 1 (v) 4 7 1 4 1 10 1 (vi) 4 6 0 1 2 8 1 (vii) 4 6 3 4 0 6 0 (viii) 4 5 2 2 1 4 0 (ix) 4 4 1 1 2 2 0 (x) 4 3 0 1 3 0 0 Примечания Harold Hilton. Plane Algebraic Curves. — Oxford, 1920. — P. 201. Hilton, p. 264 Ссылки Клейман С.Л. Успехи матем. Наук. — 1980. — Т. 35, вып. 6. — С. 69-148. Salmon, George. A Treatise on the Higher Plane Curves, 1879, pp. 64ff.