Франьич — воспитанник клуба «Динамо» из своего родного города. После удачного выступления за юношеские команды Бартол был включён в заявку «дубля». 17 июня 2020 года в матче против «Славен Белупо» он дебютировал в чемпионате Хорватии[2]. 10 августа 2021 года в отборочном поединке Лиги чемпионов против варшавской «Легии» Бартол забил свой первый гол за «Динамо»[3]. В составе клуба он дважды выиграл чемпионат и завоевал Кубок Хорватии.
Летом 2022 года Франьич перешёл в немецкий «Вольфсбург», подписав контракт на 5 лет[4]. Сумма трансфера составила 7,5 млн. евро. 3 сентября в матче против «Кёльна» он дебютировал в Бундеслиге[5].