Меню Главная Случайная статья Настройки Функтор Hom Материал из https://ru.wikipedia.org В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики. Содержание 1 Определение 2 Внутренний функтор Hom 3 Связанные определения 4 См. также 5 Примечания Определение Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора: Hom(A,-) : C Set Hom(-,B) : C Set Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(A,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(A, X) Hom(A,-) отображает каждый морфизм f : X Y в функцию Hom(A, f) : Hom(A, X) Hom(A, Y), задаваемую как ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ для каждого g в Hom(A, X). Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(-,B) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(X, B) Hom(-,B) отображает каждый морфизм h : X Y в функцию Hom(h, B) : Hom(Y, B) Hom(X, B), задаваемую как ${\displaystyle g\mapsto g\circ h}$ для каждого g в Hom(Y, B). Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B. Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор Hom(-,-) : Cop C Set где Cop — двойственная категория к C. Внутренний функтор Hom В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают ${\displaystyle {\text{hom}}(-,-):C^{op}\times C\to C}$ Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. В замкнутой категории ${\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-),}$ где I — единица замкнутой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма ${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}$ где ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ — это ${\displaystyle {\text{hom}}(Y,Z)}$. Связанные определения Функтор вида Hom(-, C) : Cop Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком. Функтор F : C Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором. Hom(-, -) : Cop C Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором ${\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}$. Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, ${\displaystyle {\text{hom}}(X,-):C\to C}$ переводит пределы в пределы, а ${\displaystyle {\text{hom}}(-,X):C^{\text{op}}\to C}$ — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела. Функтор Hom — пример точного слева функтора. См. также Лемма Йонеды Категория функторов Примечания С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с. Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.