Меню Главная Случайная статья Настройки Функции параболического цилиндра Материал из https://ru.wikipedia.org Функции параболического цилиндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра. В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)}$ При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение: ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f=0,}$ решения которого называются функциями Вебера и обозначаются ${\displaystyle D_{\nu }(z).}$ Функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)}$ являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом ${\displaystyle \nu }$ функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)}$ линейно независимы. Для всех ${\displaystyle \nu }$ функции ${\displaystyle D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)}$ также линейно независимы. На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из ${\displaystyle (1)}$ заменой ${\displaystyle f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)}$ Функции Эрмита обозначаются ${\displaystyle H_{\nu }(z).}$ Общее решение уравнения ${\displaystyle (2):}$ ${\displaystyle y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2}};{\frac {1}{2}};z^{2}\right),}$ где ${\displaystyle \Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)}$ — вырожденная гипергеометрическая функция. При целом неотрицательном ${\displaystyle \nu }$ функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном ${\displaystyle \nu }$ функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок. Содержание 1 Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования 1.1 Рекуррентные соотношения 1.2 Формулы дифференцирования 2 Асимптотическое поведение 2.1 В начале координат 2.2 На бесконечности 3 Литература 4 Ссылки Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования Рекуррентные соотношения ${\displaystyle D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz)\right)}$ ${\displaystyle D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)}$ ${\displaystyle H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)}$ ${\displaystyle H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)}}H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)}}H_{\nu +2}(z)}$ ${\displaystyle 2\nu ~H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)=2zH_{\nu }(z)}$ Формулы дифференцирования ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{\nu -1}(z)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{\nu +1}(z)}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{-z^{2}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{-z^{2}}H_{\nu +1}(z)}$ Асимптотическое поведение В начале координат На бесконечности Литература Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2 Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2 H.F. Weber, "ber die Integration der partiellen Differentialgleichung ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+k^{2}u=0}$" Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36 Ссылки Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. chapter 19. Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Function. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Weisstein, Eric W. Parabolic Cylinder Differential Equation. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.