Меню Главная Случайная статья Настройки Функция Дирихле Материал из https://ru.wikipedia.org Функция Дирихле — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.[1] Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Вариации и обобщения 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Определение Символически, функция Дирихле ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}}$ определяется следующим образом:[2] ${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {I} .\end{cases}}}$ Свойства Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[3][4]: ${\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$. Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).[5] Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.[6] Не является интегрируемой в смысле Римана.[7] Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю. Вариации и обобщения Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также, «функцией Тома» (Thomae). Примечания Ferreiros, 2013, с. 150. Фихтенгольц, 2003, с. 115. Dunham, 2005, с. 197. Рудин, 1976, с. 162 Пример 7.5. Зорич, 2019, с. 145. encyclopediamath, comment. Никольский, 1983, с. 357. Литература Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с. Dirichlet-function  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. Ссылки Dirichlet Function — from MathWorld