Доминик Хайнрих играть в хоккей начинал в родной Вене за местный «Виенер». В 2007 году перешёл в «Ред Булл». За сборную Австрии выступал на юниорских и молодёжных первенствах. За основную сборную дебютировал 12 ноября 2010 года в матче против сборной Франции.
