Хёберг — воспитанник клубов «Эленелудс» и «Юргорден». В 2010 году он начал футбольную карьеру в клубе Второго дивизиона Швеции «Соллентуна».
В 2011 году Хёберг переехал в США, где поступил в Университет Маркетта[англ.] и начал выступления в футбольной команде учебного заведения[3]. В 2012—2013 годах он также выступал за клуб Премьер-лиги развития «Тандер-Бей Чилл»[4].
15 января 2015 года на Супердрафте MLS Хёберг был выбран под 14-м номером клубом «Колорадо Рэпидз»[5]. В главной лиге США он дебютировал 7 марта в матче стартового тура сезона 2015 против «Филадельфии Юнион»[6]. 22 мая 2016 года в поединке против «Сиэтл Саундерс» он забил свой первый гол за «Колорадо Рэпидз»[7]. По итогам сезона 2016 Хёберг был включён в символическую сборную MLS[8]. 27 ноября 2019 года «Колорадо Рэпидз» поместил Хёберга в список отказов[9][10].
14 августа 2020 года «Коламбус Крю» обменял Хёберга на Эммануэля Боатенга в «Ди Си Юнайтед»[16][17]. За вашингтонский клуб он дебютировал 29 августа в матче против «Филадельфии Юнион»[18]. По окончании сезона 2020 «Ди Си Юнайтед» не продлил контракт с Хёбергом[19].
21 января 2021 года Хёберг вернулся в «Сан-Антонио», подписав контракт на сезон 2021[20]. 28 июля в матче против «Эль-Пасо Локомотив» он забил свой первый гол за «Сан-Антонио»[21].
24 апреля 2022 года Аксел Хёберг объявил о завершении футбольной карьеры[22].