Родился 29 марта 1931 года в Киеве у металлурга Михаила Иосифовича Чайковского и Марии Филипповны Стародубовой. Один из трёх детей в семье, братья: Валентин (род. 1937) и Сергей (род. 1942). Во время Великой Отечественной войны находился с родителями и младшим братом в эвакуации в Уфе[1].
В течение 15 лет Анатолий Михайлович был членом президиума Федерации спортивной прессы СССР, одновременно возглавлял пресс-службы многих чемпионатов (мира, Европы, Спартакиад народов СССР). Во время Московских Олимпийских игр 1980 года А. Чайковский руководил пресс-службой Центрального стадиона в Лужниках.