Чивич — воспитанник клубов «Слобода» и чешского «Словацко». 14 марта 2015 года в матче против «Пршибрам» он дебютировал в чемпионате Чехии в составе последнего[3]. 2 апреля 2016 года в поединке против пражской «Спарты» Элдар забил свой первый гол за «Словацко»[4]. Летом 2017 года Чивич перешёл в пражскую «Спарту», подписав контракт на 4 года[5]. 27 июля в матче квалификации Лиги Европы против сербской «Црвена Звезды» он дебютировал за основной состав[6].
В марте 2022 года он продлил свой контракт до июня 2025 года[12].
После окончания контракта в июне 2025 года перешёл в калининградскую «Балтику», выступающую в Российской премьер-лиге[13]. 18 июля 2025 года дебютировал в РПЛ в гостевом матче против московского «Динамо»[14].
