Чорич начал карьеру выступая за юношеские команды клубов «Хрватски Драговоляц» и «Загреб». В 2009 году он попал в академию австрийского «Ред Булла», также интерес к нему проявляли немецкая «Бавария», лондонский «Челси» и испанская «Барселона»[4]. В 2013 году Анте вернулся на родину, подписав свой первый профессиональный контракт с загребским «Динамо». Сумма трансфера составила 900 тыс. евро[5]. 18 июля 2014 года в матче против команды «Славен Белупо» он дебютировал в чемпионате Хорватии, заменив во втором тайме Аль-Арби Судани[6]. 18 сентября в поединке Лиги Европы против румынской «Астры» Анте забил свой первый гол за команду[7]. 28 апреля 2015 года в матче против «Осиека» Чорич забил свой первый гол в национальном первенстве[8]. По итогам сезона Анте стал чемпионом и обладателем Кубка Хорватии.
28 мая 2018 года Чорич перешёл в итальянскую «Рому», подписав контракт на два года[9]. Сумма трансфера составила 6 млн евро.
2 октября 2020 года перешёл на правах аренды в нидерландский ВВВ-Венло[10].