Чурлинов — воспитанник немецких клубов «Ганза», «Магдебург» и «Кёльн». 17 августа 2019 года в матче против «Вольфсбурга» он дебютировал в Бундеслиге в составе последнего[2]. В начале 2020 года Чурлинов перешёл в «Штутгарт», подписав контракт на четыре года[3]. 22 февраля в матче против «Яна» он дебютировал во Второй Бундеслиге[4]. 31 мая в поединке против дрезденского «Динамо» Дарко забил свой первый гол за «Штутгарт»[5]. По итогам сезона игрок помог клубу выйти в элиту.
Летом 2021 Чурлинов на правах аренды перешёл в «Шальке 04»[6]. 21 августа в матче против «Яна» он дебютировал за новый клуб[7]. 10 декабря в поединке против «Нюрнберга» Дарко забил свой первый гол за «Шальке 04»[8].
Летом 2022 года Чурлинов перешёл в английский «Бернли», подписав контракт на четыре года[9]. Сумма трансфера составила 3,5 млн. евро. 20 августа в матче против «Блэкпула» он дебютировал в Чемпионшипе[10].
