Шарич — воспитанник клуба «Риека» из своего родного города. В 1989 году он дебютировал за основную команду в первенстве Югославии. Отыграв сезон на родину он переехал в Испанию, где начал выступать за хихонский «Спортинг». Даниэл выступал в Ла Лиге на протяжении двух сезонов, после чего вернулся на родину приняв приглашение загребского «Динамо». В составе нового клуба он пять раз выиграл чемпионат Хорватии. В 2000 году Шарич перешёл в греческий «Панатинаикос». В Греции Даниэл провел три сезона, после чего вернулся в Хорватию, где после четырёх сезонов завершил карьеру в родном клубе.