Дарио Шпикич является воспитанником «Динамо Загреб». За вторую команду дебютировал в матче против «Новиграда»[1]. Всего за Динамо Загреб II Дарио Шпикич сыграл 27 матчей и забил 3 гола[2].
В 2018 году перешёл в «Хайдук Сплит»[3]. За вторую команду дебютировал в матче против «Дугополе»[4]. 4 мая 2018 года сыграл свой единственный матч за «Хайдук» против клуба «Интер Запрешич»[5]. Всего за дубль Хайдука он сыграл 30 матчей, где забил 4 мяча[2].
В 2020 году Дарио Шпикич перешёл в «Горицу»[3]. За клуб дебютировал в матче против «Осиека»[6]. Свой первый гол за «Горицу» Дарио Шпикич забил в матче против «Вараждина»[7]. 4 февраля перешёл в «Динамо Загреб», но на следующий день перешёл в аренду в свой прошлый клуб[3]. Всего за «Горицу» Дарио Шпикич сыграл 59 матчей, где забил 7 мячей[2]. За «Динамо Загреб» дебютировал в матче против футбольного клуба «Хрватски Драговоляц»[8]. Свой первый гол за «Динамо» забил в ворота того же клуба[9].