Штёгер — воспитанник клубов «Штайр», «Рид» и «Штутгарт». В июле 2013 года на правах аренды стал игроком «Кайзерслаутерн». 12 августа в матче против «Гройтер Фюрт» Штёгер дебютировал за «красных дьяволов»[3]. 4 мая 2014 года в поединке против «Динамо Дрезден» он забил дебютный гол во второй Бундеслиге[4].
26 августа 2015 года Штёгер стал игроком «Падерборн 07»[5]. 29 июля в матче против «Арминии» он дебютировал за новый клуб. 4 декабря во встрече против «Нюрнберга» полузащитник забил первый гол за «Падерборн 07»[6].
Летом 2016 года на правах свободного агента перешёл в «Бохум». 6 августа в матче против «Унион Берлин» Кевин провёл первый матч за новый клуб[7]. 16 сентября в поединке против «Нюрнберга» полузащитник отметился дебютный голом за команду[8]. В мае 2018 года после травмы крестообразной связки перешёл в Фортуну (Дюссельдорф)[9].
В октябре 2020 года на правах свободного агента перешёл в «Майнц 05»[10][11]. 18 января в матче против «Вердера» Штёгер дебютировал за новую команду[12].