Во взрослом футболе дебютировал в 1959 году в клубе «Вест Хэм Юнайтед». Впервые вышел на поле 18 апреля 1960 года в матче против «Манчестера Юнайтед». В сезоне 1963/64 вместе с командой выиграл Кубок Англии и в том же году стал обладателем Суперкубка Англии. Свой единственный гол за команду Бовингтон забил 26 октября 1966 года в ворота клуба «Ноттингем Форест».
Завершил карьеру футболиста в 1968 году, после чего занялся торговлей. В дальнейшем Бовингтон вспоминал, что у него были плохие отношения с тренером Роном Гринвудом и он не включал его в основной состав команды из-за того, что считал его недостаточно опытным игроком[1].