Меню Главная Случайная статья Настройки Эквивалентность категорий Материал из https://ru.wikipedia.org Эквивалентность категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы», при этом более слабое, чем изоморфизм категорий. Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие. Категории ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ эквивалентны, если существуют функторы ${\displaystyle F\colon C\to D}$, ${\displaystyle G\colon D\to C}$ и два естественных изоморфизма ${\displaystyle \varepsilon \colon FG\to \mathbf {I} _{D}}$ и ${\displaystyle \eta \colon \mathbf {I} _{C}\to GF}$, где ${\displaystyle I_{C}\colon C\to C}$ и ${\displaystyle I_{D}\colon D\to D}$ — тождественные функторы на ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно. Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий. При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом. Если ${\displaystyle F\colon C\to D}$ — эквивалентность категорий, ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ — «обратные» к ${\displaystyle F}$, то ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ естественно изоморфны. Эквивалентные формулировки Можно показать, что функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он: вполне унивалентен и плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента ${\displaystyle d}$ категории ${\displaystyle D}$ существует объект, имеющий прообраз в ${\displaystyle C}$ под действием ${\displaystyle F}$. Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя такое свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор ${\displaystyle F}$ с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий. Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными. Примеры Между категорией ${\displaystyle C}$ из одного объекта ${\displaystyle c}$ и одного морфизма ${\displaystyle 1_{c}}$ и категорией ${\displaystyle D}$ из двух объектов ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}}$ и четырёх морфизмов: двух тождественных ${\displaystyle 1_{d_{1}}}$, ${\displaystyle 1_{d_{2}}}$ и двух изоморфизма ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$, ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$ можно установить эквивалентность, например взять ${\displaystyle F}$, отправляющий ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle G}$, отправляющий всё ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle c}$. Однако, например, категория ${\displaystyle C}$ не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов. Для категории ${\displaystyle C}$ из одного объекта ${\displaystyle c}$ и двух морфизмов ${\displaystyle 1_{c}}$ и ${\displaystyle f\colon c\to c}$, где ${\displaystyle f\circ f=1}$ — ${\displaystyle f}$ задаёт естественный изоморфизм ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом). Эквивалентны категория ${\displaystyle C}$ конечномерных действительных векторных пространств и категория ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$ (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса). Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами. Литература Эквивалентность категорий — статья из Математической энциклопедии Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.