Элиассон — воспитанник клуба «Фалькенберг». 9 апреля 2013 года в матче против «Эргрюте» он дебютировал в Суперэттан[2]. 2 ноября в поединке против «Энгельхольма» Никлас забил свой первый гол за Фалькенберг[3].
В начале 2014 года Элиассон перешёл в АИК. 31 марта в матче против «Гётеборга» он дебютировал в Аллсвенскан лиге[4]. 31 августа в поединке против «Норрчёпинга» Никлас забил свой первый гол за АИК[5].
Летом 2016 года Элиассон присоединился к клубу «Норрчёпинг». 7 августа в матче против «Эребру» он дебютировал за новую команду[6]. 18 сентября в поединке против «Хельсинборга» Никлас забил свой первый гол за «Норрчёпинг»[7].