Элшик — воспитанник клубов «Златоличье» и «Алюминий». В 2015 году он подписал контракт с английским «Дерби Каунти». 23 августа 2016 года в поединке Кубка английской лиги против «Карлайл Юнайтед» он дебютировал за основной состав[3]. Летом 2017 года для получения игровой практики Элшик на правах аренды перешёл в «Суиндон Таун». 2 сентября в матче против «Бранета» он дебютировал в Третьей лиге Англии[4]. 11 ноября в поединке против «Честерфилда» Тими забил свой первый гол за «Суиндон Таун»[5].
Летом 2018 года Элшик бал арендован «Мансфилд Таун». 15 сентября в матче против «Эксетер Сити» он дебютировал за новый клуб[6]. 30 октября в поединке против «Кру Александра» Тими забил свой первый гол за «Мансфилд Таун»[7].
В начале 2019 года Элшик на правах аренды перешёл в «Нортгемптон Таун». 26 января в матче против «Моркама» он дебютировал за новую команду[8]. В этом же поединке Тими забил свой первый гол за «Нортгемптон Таун». Летом 2020 года Элшик перешёл в столичную «Олимпию». 6 июня в матче против «Табора» он дебютировал в чемпионате Словении[9]. 19 июля в поединке против «Табора» Тими забил свой первый гол за «Олимпию»[10]. В 2021 году он помог клубу завоевать Кубок Словении.
Международная карьера
В 2015 году в составе сборной Словении среди игроков до 17 лет Элшик принял участие в юношеском чемпионате Европы в Болгарии. На турнире он сыграл в матчах против команд Чехии[11], Германии[12] и Бельгии[13].
