Меню Главная Случайная статья Настройки Энстрофия Материал из https://ru.wikipedia.org В гидродинамике энстрофия E может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности[англ.]; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения. Для заданной области ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:[1] ${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx,}$ где ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}}$. Эта величина совпадает с квадратом полунормы ${\displaystyle |\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}}$решения в пространстве Соболева ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$. В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$,[2] ${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx}$ или, с точки зрения скорости потока, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.}$ В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате[1] ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} ).}$ Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости ${\displaystyle \nu }$, умноженной на энстрофию. Примечания 1 2 .worldcat.org/oclc/56416088 Уравнения Навье-Стокса и турбулентность. — Cambridge : Cambridge University Press, 2001. — P. 28—29. — ISBN 0-511-03936-0. Архивная копия от 19 декабря 2019 на Wayback Machine Doering, C.R. and Gibbon, JD (1995). Прикладной анализ уравнений Навье-Стокса, с. 11, издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 052144568-X. Источники Umurhan, O. M.; Regev, O. (Декабрь 2004). Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results. Astronomy and Astrophysics. 427 (3): 855–872. arXiv:astro-ph/0404020. Bibcode:2004A&A...427..855U. doi:10.1051/0004-6361:20040573. S2CID 15418079.