Эспиноса — воспитанник клуба «Либертад». В 2016 году игрок был включён в заявку на сезоне. В том же году Эспиноса на правах аренды перешёл в «Хенераль Кабальеро». 30 января в матче против «Хенераль Диас» он дебютировал в парагвайской Примере[2]. 10 апреля в поединке против «Серро Портеньо» Матиас забил свой первый гол за «Хенераль Кабальеро»[3].
В 2017 году Эспиноса был арендован «Хенераль Диас». 10 сентября в матче против столичного «Насьоналя» он дебютировал за новый клуб[4]. 12 ноября в поединке против столичной «Олимпии» Матиас забил свой первый гол за «Хенераль Диас»[5].
В начале 2018 года Эспиноса вернулся в «Либертад». 20 июля в матче против «Спортиво Лукеньо» он дебютировал за основной состав[6]. 9 октября в поединке против «Депортиво Капиата» Матиас забил свой первый гол за «Либертад»[7]. В составе клуба игрок четыре раза выиграл чемпионата Парагвая.
