Янссон — воспитанник клуба «Мальмё». В 2009 году для получения игровой практики он на правах аренды выступал за «ИФК Мальмё». 14 сентября в матче против «Юргордена» Понтус дебютировал в Аллсвенскан лиге[2]. 15 мая 2010 года в поединке против «Мьельбю» он забил свой первый гол за «Мальмё»[3]. В том же сезоне Янссон помог клубу выиграть чемпионат. В 2013 году он во второй раз стал чемпионом страны, а также завоевал Суперкубок Швеции.
Летом 2014 года Понтус на правах свободного агента перешёл в итальянский «Торино»[4]. 19 октября в матче против «Удинезе» он дебютировал в итальянской Серии A[5]. 30 апреля 2016 года в поединке против «Удинезе» Янссон забил свой первый гол за «Торино»[6].
Летом 2016 года Янссон на правах аренды перешёл в английский «Лидс Юнайтед»[7]. 10 сентября в матче против «Хаддерсфилд Таун» он дебютировал в Чемпионшипе[8]. 5 ноября в поединке против «Норвич Сити» Понтус забил свой первый гол за «Лидс Юнайтед»[9]. После окончания срока аренды Янссон остался в «Лидсе», заключив с клубом контракт на три года[10].
Летом 2019 года Янссон подписал контракт на 3 года с клубом «Брентфорд»[11][12]. 3 августа в матче против «Бирмингем Сити» он дебютировал за новую команду[13]. В 2021 году игрок помог клубу выйти в элиту. 13 августа в матче против лондонского «Арсенала» он дебютировал в английской Премьер-лиге[14]. 10 декабря в поединке против «Уотфорда» Понтус забил свой первый гол за «Брентфорд»[15]. В 2023 году Янссон вернулся в «Мальмё»[16][17]. Понтус помог команде дважды выиграть чемпионат и завоевать Кубок Швеции.
