Меню Главная Случайная статья Настройки Пространство квадратично-суммируемых последовательностей Материал из https://ru.wikipedia.org Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство, одно из базовых пространств последовательностей[англ.], состоит из бесконечных последовательностей чисел ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$ для которых ряд: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}}$ сходится и в котором определено расстояние ${\displaystyle \rho (x,y)}$ между двумя точками ${\displaystyle x,y}$ как [1]: ${\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$. Стандартное обозначение — ${\displaystyle \ell ^{2}}$[1]. Единственное из пространств последовательностей ${\displaystyle \ell ^{p}}$, являющееся гильбертовым. Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством: ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+y_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$, ${\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$. Скалярное произведение: ${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$. Норма в таком пространстве определяется как: ${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2}}}}$. Примеры: бесконечные последовательности вида ${\displaystyle x=(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots )}$ входят в ${\displaystyle \ell ^{2}}$, так как ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ сходится; коэффициенты ряда Фурье ${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$ таковы, что ${\displaystyle ({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n},\dots )\in \ell ^{2}}$, что следует из неравенства Бесселя. Любое евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является подпространством пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$, что следует из возможности представления его точек в виде ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},0,0,\dots )}$. Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга, использующей пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$, и волновой механики Шрёдингера, использующей изоморфное ему гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}}$[2]. Пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$ иногда называют координатным гильбертовым пространством[1]. См. также Пространство ограниченных последовательностей Примечания 1 2 3 Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М., Наука, 1968. — с. 32 А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: МГУ, 1960. — Т. II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство. — С. 94—96. Литература Гильбертово пространство — статья из Математического энциклопедического словаря