Меню Главная Случайная статья Настройки *-алгебра Материал из https://ru.wikipedia.org *-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению. Содержание 1 *-кольцо 2 *-алгебра 2.1 C*-алгебра 3 Примеры 4 Свойства 5 Обозначения 6 См. также 7 Библиография *-кольцо *-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является антиавтоморфизмом, то есть ${\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$ ${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ ${\displaystyle \ 1^{*}=1}$ и инволюцией, то есть ${\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}$ Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией. *-алгебра *-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в ${\displaystyle R\subset A.}$ Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение). Тогда * сопряженно-линейное, то есть ${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}$. *-гомоморфизм ${\displaystyle \ f:A\to B}$ — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть: ${\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}$ Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=x}$ называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми. Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=-x}$ называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми. Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}$. C*-алгебра C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство: ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,}$ ${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$ Оба условия эквивалентны. Также они эквивалентны В*-свойству ${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.}$ Примеры