Меню Главная Случайная статья Настройки 3j-символ Материал из https://ru.wikipedia.org 3j-символ Вигнера, называемый также 3jm-символом, — вещественная функция шести переменных (как правило, целых или полуцелых чисел). Находят применение в квантовой механике для сложения угловых моментов и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .}$ 3j-символы являются коэффициентами, с которыми состояние ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ раскладывается в виде трилинейной формы трёх угловых моментов: ${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle =|0\,0\rangle .}$ Содержание 1 Обратная связь 2 Симметрия 3 Правила отбора 4 Скалярная инвариантность 5 Ортогональность 6 Связь со сферическими гармониками 7 Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами 8 Выражение в явном виде 9 Прочие свойства 10 См. также 11 Литература 12 Ссылки 13 Примечания Обратная связь Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j1 j2  m3 является целым числом, и делая подстановку ${\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}$, получим: ${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$ Симметрия Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$ Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$ Замена знака квантовых чисел ${\displaystyle m}$ также даёт дополнительную фазу: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$ Правила отбора 3j-символ Вигнера не равен нулю только при одновременном выполнении всех следующих условий: ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}}$ — целое, ${\displaystyle |m_{i}|\leqslant j_{i},}$ ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.}$ Скалярная инвариантность Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами ${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle }$ инвариантна при вращениях. Это очевидный факт, поскольку указанная сумма равна состоянию с нулевым моментом ${\displaystyle |0\,0\rangle }$, которое сферически симметрично. Ортогональность 3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности: ${\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'},}$ ${\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}$ Связь со сферическими гармониками Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник: ${\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}$ где ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle l_{3}}$ являются целыми числами. Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами ${\displaystyle \int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.}$ Выражение в явном виде ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}}$ Суммирование выполняется по тем целым значениям Прочие свойства ${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}.}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}dxP_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}.}$ См. также Коэффициенты Клебша — Гордана 6j-символ 9j-символ 12j-символ 15j-символ Литература Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров (рус.). — М.: Физматгиз, 1963. Biedenharn L. C., Louck J. D. Angular Momentum in Quantum Physics. In: Vol. 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981. Brink D. M., Satchler G. R. Angular Momentum. 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics. 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960. Wigner E. P. On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups. Unpublished (1940). Reprinted in: Biedenharn L. C., van Dam H. Quantum Theory of Angular Momentum. New York: Academic Press, 1965. Ссылки Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ) Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно) калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно) WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа) Примечания