Меню Главная Случайная статья Настройки Александровская геометрия Материал из https://ru.wikipedia.org Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство. Содержание 1 История 2 Основные определения 2.1 Общие ограничения на кривизну 3 Основные теоремы 4 Примечания 5 Литература История Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера[1]. Эта работа была забыта вплоть до 1980-х годов[2]. Похожие определения были переоткрыты Александром Александровым[3][4]. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей. Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном[5]. Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям: Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу; Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху. Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп. Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 1990-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Бураго, Михаилом Громовым и Григорием Перельманом[6]. Основные определения Треугольник сравнения для тройки точек ${\displaystyle xyz}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ это треугольник ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ на евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ с теми же длинами сторон; то есть ${\displaystyle {\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}}$ Угол при вершине ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ в треугольнике сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ называется углом сравнения тройки ${\displaystyle xyz}$ и обозначается ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})}$. В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства ${\displaystyle X}$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками. Первое неравенство. Для произвольных 4 точек ${\displaystyle x,y,p,q\in X}$ рассмотрим пару треугольников сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ и ${\displaystyle [{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$, тогда для произвольной точки ${\displaystyle {\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.}$ В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$-неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$-неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова. Второе неравенство. Для произвольных 4 точек ${\displaystyle p,x,y,z\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .}$ В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CBB} (0)}$-неравенству, или имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Общие ограничения на кривизну Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ — модельную плоскость кривизны ${\displaystyle k}$. То есть ${\displaystyle \mathbb {M} (0)}$ есть евклидова плоскость, ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ при ${\displaystyle k>0}$ есть сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$, ${\displaystyle \mathbb {M} (k)}$ при ${\displaystyle k<0}$ есть плоскость Лобачевского кривизны ${\displaystyle k}$. Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT(k) и CBB(k) пространств и пространств кривизной ${\displaystyle \leqslant k}$ и ${\displaystyle \geqslant k}$ в смысле Александрова. В случае ${\displaystyle k>0}$, треугольник сравнения тройки ${\displaystyle (xyz)}$ считается определённым, если ${\displaystyle |x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}}$. Основные теоремы Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам. Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств. Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана. Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова. Примечания Wald, A. Begrndung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flchen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46. В. Н. Берестовский. Пространства с ограниченной кривизной и дистанционная геометрия (рус.) // Сиб. матем. журн.. — 1986. — Т. 27, № 1. — С. 11—25. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948. Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения (рус.) // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23. Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259—310. Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами (рус.) // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51. Литература Лекция 5, Геометрия Александрова Сергей Иванов. Метрическая геометрия и пространства Александрова . Лекториум (10.02.11). Сергей Иванов. Геометрия пространств Александрова . Лекториум (04.07.17). Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции