Меню Главная Случайная статья Настройки K-пространство (топология) Материал из https://ru.wikipedia.org k-пространство (компактно порождённое пространство) — топологическое пространство, в котором замкнуты все множества, пересечение которых с каждым компактным подмножеством этого пространства замкнуто. Часто к этому добавляют требование хаусдорфовости пространства. Содержание 1 Определение 2 Отображения в k-пространствах 3 Сохранение при операциях 4 Связь с другими классами пространств 5 Литература Определение Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называют Множество ${\displaystyle A}$ замкнуто в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение ${\displaystyle A\cap K}$ с каждым компактным множеством ${\displaystyle K\subset X}$ замкнуто в этом множестве ${\displaystyle K}$. Множество ${\displaystyle A}$ открыто в ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда всякое его пересечение ${\displaystyle A\cap K}$ с каждым компактным множеством ${\displaystyle K\subset X}$ открыто в этом множестве ${\displaystyle K}$. Часто под Для хаусдорфовых пространств можно дать следующее эквивалентное определение Отображения в Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ произвольного топологического пространство ${\displaystyle X}$ в Если даны два факторных отображения ${\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}}$, у которых области определения ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ и произведение областей значений ${\displaystyle Y_{1}\times Y_{2}}$ являются Сохранение при операциях Каждое открытое, а также каждое замкнутое подпространство хаусдорфова Сумма семейства топологических пространств является Произведение хаусдорфова k-пространства и локально компактного хаусдорфова пространства является k-пространством. При этом произведение двух k-пространств в общем случае не является k-пространством. Хаусдорфов образ хаусдорфова k-пространства при факторном (в частности, при открытом или замкнутом) отображении является k-пространством. При этом образ хаусдорфова k-пространства при произвольном непрерывном отображении может не быть k-пространством, даже если он совершенно нормален. Связь с другими классами пространств Всякое полное по Чеху пространство (в частности любое локально компактное хаусдорфово пространство, а следовательно и любое топологическое многообразие) является k-пространством. Каждое секвенциальное пространство (в частности любое пространство с первой аксиомой счётности, а следовательно и любое метрическое пространство) является k-пространством. Всякое пространство точечно счётного типа является k-пространством. Каждый CW-комплекс является k-пространством. Литература Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с. Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — 680 с.