Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
K-функция
Материал из https://ru.wikipedia.org

K-функция — математическая функция, обычно обозначаемая , является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Содержание

Определение

Интегральное определение

Формально, K-функция определяется как
.


Определение черезполигамма-функцию

K-функция определяется через полигамма функцию:


И сбалансированную полигамма-функцию:


Где  — постоянная Глейшера — Кинкелина

Определение взамкнутой форме

K-функция в замкнутой форме определяется как:


где обозначает производную дзета-функции Римана,  — это дзета-функция Гурвица и


Определение через произведениеВейерштрасса

K-функцию можно определить в виде произведения по Теорема Вейерштрасса о целых функциях


Свойства

Рекуррентная формула

Основное свойство K-функции, по аналогии с гамма-функцией — это её рекуррентное уравнение:


Функциональные уравнения

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса для всех комплексных :


Формула умножения

Формула умножения K-функция схожа с формулой умножения гамма-функции:


Даная формула выражается через число постоянную Глейшера — Кинкелина


Интегральное уравнение

Для любого


Пусть

Продифференцируем функцию по :


Применяя свойство логарифма, получаем


По основному свойству K-функции , тогда:


Проинтегрируем левую и правую части:


Теперь рассмотрим


Тогда


Целочисленные значения

Для любого целого неотрицательного n верно:
, где  — гиперфакториал


В 2003 году Бенуа Клуатре показал следующую формулу, выражающую K-функция натурального числа через определитель матрицы вида:
.


Экстремум функции

Для положительных аргументов принимает минимальное значение в точке

Частные значения

K-функция целых аргументов выражается через элементарные функции. В частности


Так же были найдены значения для полу-целых аргументов


Ссылки
Downgrade Counter