Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
K-функция — математическая функция, обычно обозначаемая , является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.
Содержание
Определение
Интегральное определение
Формально, K-функция определяется как
- .
Определение черезполигамма-функцию
K-функция определяется через полигамма функцию:
И сбалансированную полигамма-функцию:
Где — постоянная Глейшера — Кинкелина
Определение взамкнутой форме
K-функция в замкнутой форме определяется как:
где обозначает производную дзета-функции Римана, — это дзета-функция Гурвица и
Определение через произведениеВейерштрасса
K-функцию можно определить в виде произведения по Теорема Вейерштрасса о целых функциях
Свойства
Рекуррентная формула
Основное свойство K-функции, по аналогии с гамма-функцией — это её рекуррентное уравнение:
Функциональные уравнения
K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса для всех комплексных :
Формула умножения
Формула умножения K-функция схожа с формулой умножения гамма-функции:
Даная формула выражается через число постоянную Глейшера — Кинкелина
Интегральное уравнение
Для любого
Пусть
Продифференцируем функцию по :
Применяя свойство логарифма, получаем
По основному свойству K-функции , тогда:
Проинтегрируем левую и правую части:
Теперь рассмотрим
Тогда
-
Целочисленные значения
Для любого целого неотрицательного n верно:
- , где — гиперфакториал
В 2003 году Бенуа Клуатре показал следующую формулу, выражающую K-функция натурального числа через определитель матрицы вида:
- .
Экстремум функции
Для положительных аргументов принимает минимальное значение в точке
Частные значения
K-функция целых аргументов выражается через элементарные функции. В частности
Так же были найдены значения для полу-целых аргументов
Ссылки
|
|