Уроженец Коломба (пригород Парижа), Коне выступал за молодёжные команды «Вильнёв-ла-Гаренн», «Париж» и «Булонь-Бийанкур», после чего стал игроком академии «Тулузы» в июле 2016 года[1].
21 января 2021 года было объявлено о соглашении по переходу Коне в немецкий клуб «Боруссия Мёнхенгладбах», причём остаток сезона 2020/21 француз проведёт на правах аренды в «Тулузе»[4]. 25 сентября 2021 года дебютировал в основном составе мёнхенгладбахского клуба в матче немецкой Бундеслиги против «Боруссии Дортмунд»[5].
Ману Коне перешёл в «Рому» в летнее трансферное окно 2024 года. Его контракт с клубом предусматривает зарплату в 3 миллиона евро за сезон, а номер игрока — 17. Главным фактором для трансфера стали разговоры с главным тренером Даниэле Де Росси, который убедил Коне в больших амбициях клуба .
Дебютный матч Коне за «Рому» состоялся в одном из первых туров сезона Серии А. Первый гол за клуб он забил 27 октября 2024 года в матче против «Фиорентины». Несмотря на поражение команды со счётом 5:1, этот гол стал единственным для джаллороси в той встрече .