Меню Главная Случайная статья Настройки Линейно-квадратичный регулятор Материал из https://ru.wikipedia.org Линейно-квадратичный регулятор (англ. Linear quadratic regulator, LQR) — в теории управления один из видов оптимальных регуляторов, использующий квадратичный функционал качества. Задача, в которой динамическая система описывается линейными дифференциальными уравнениями, а показатель качества представляет собой квадратичный функционал, называется задачей линейно-квадратичного управления. Широкое распространение получили линейно-квадратичные регуляторы (LQR) и линейно-квадратичные гауссовы регуляторы (LQG). Содержание 1 Случай непрерывных систем 2 Случай дискретных систем 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Случай непрерывных систем Для непрерывных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+B(t)u}$ с критерием оптимальности ${\displaystyle J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x^{T}Q(t)x+u^{T}R(t)u\right)dt,}$ закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать указанный критерий оптимальности. Этот закон управления имеет вид ${\displaystyle u=-R^{-1}B^{T}Px,}$ где ${\displaystyle P}$ находится из решения уравнения Риккати[1][2] ${\displaystyle A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=-{\dot {P}}.}$ Случай дискретных систем Для дискретных линейных систем, описываемых в пространстве состояний системой уравнений ${\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}}$ с критерием оптимальности ${\displaystyle J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right),}$ закон управления по отрицательной обратной связи, найденный по LQR-алгоритму, должен минимизировать критерий оптимальности ${\displaystyle u_{k}=-Fx_{k},}$ где ${\displaystyle F={\tilde {R}}^{-1}B^{T}PA,}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}=R+B^{T}PB,}$ где ${\displaystyle P}$ — решение дискретного уравнения Риккати[3] ${\displaystyle P=Q+A^{T}\left(P-PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P\right)A.}$ Примечания Квакернаак, Сиван, 1977, с. 226—253. Anderson, Moore, 1971, с. 23—28. Квакернаак, Сиван, 1977, с. 558—562. Литература Квакернаак, Х., Сиван, Р.. Линейные оптимальные системы управления (рус.). — М.: Мир, 1977. Ссылки Линейно-квадратичный регулятор в Wolfram Research (англ.)