Меню Главная Случайная статья Настройки P-группа Материал из https://ru.wikipedia.org p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 См. также 4 Литература Примеры Циклическая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ и прямые произведения таких групп. Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров. Группа Гейзенберга по модулю ${\displaystyle p}$ — простейший пример некоммутативной p-группы. Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы. Силовские p-группы (см. Теоремы Силова) Свойства Центр ${\displaystyle Z(P)}$ нетривиальной конечной p-группы ${\displaystyle P}$ является нетривиальной группой. В частности, все p-группы нильпотентны. Более того, если ${\displaystyle H}$ нормальная подгруппа в p-группе ${\displaystyle P}$, то ${\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}$. Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям. Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова). Более того любая группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ является p-группой (следует из теоремы Лагранжа). При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотически равно ${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}}$. См. также Задача Бёрнсайда Литература Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.) Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962. Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.