Меню Главная Случайная статья Настройки Theorema Egregium Материал из https://ru.wikipedia.org Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Карлом Фридрихом Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее: Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве. Известна явная формула, выражающая гауссову кривизну через первую квадратичную форму, а именно, через её коэффициенты и их частные производные первого и второго порядков. Это так называемая формула Бриоски[1]. В некоторых частных случаях, например в полугеодезических координатах, то есть в локальных координатах с первой квадратичной формой вида ${\displaystyle du^{2}+b(u,v)dv^{2}}$ гауссовова кривизна выражается более простой формулой ${\displaystyle K=-{\tfrac {1}{b}}\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}b.}$ Для вывода теоремы этого достаточно. Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне, если применить её к малым геодезическим треугольникам. Однако обычно выражение для гауссововой кривизны доказывается до формулы Гаусса — Бонне. История Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни): Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему. Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной. Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации. Литература В. А. Топоногов. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135. Carlo Friedrico Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827 Примечания Brioschi Formula on Wolfram MathWorld  (неопр.). Дата обращения: 2 мая 2021. Архивировано 2 мая 2021 года.