Меню Главная Случайная статья Настройки Эпсилон-сеть Материал из https://ru.wikipedia.org -сеть (эпсилон-сеть, -плотное множество) для подмножества ${\displaystyle M}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ есть множество ${\displaystyle Z}$ из того же пространства ${\displaystyle X}$ такое, что для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ найдётся точка ${\displaystyle z\in Z}$, удалённая от ${\displaystyle x}$ не более чем на . Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 3.1 Необходимость 3.2 Достаточность 4 Примечания 5 Литература Связанные определения Метрическое пространство, в котором для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечная ${\displaystyle \varepsilon }$-сеть, называется вполне ограниченным. Метрика ${\displaystyle \rho }$ на множестве ${\displaystyle X}$ называется вполне ограниченной, если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — вполне ограниченное метрическое пространство. Семейство метрических пространств ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ таких, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ есть натуральное число ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ такое, что каждое пространство ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ допускает ${\displaystyle \varepsilon >0}$-сеть из не более чем ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ точек называется универсально вполне ограниченной. Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности. Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой. Примеры Для стандартной метрики множество рациональных чисел — Множество целых чисел — Свойства Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества ${\displaystyle M}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ необходимо, а в случае полноты пространства ${\displaystyle X}$ и достаточно, чтобы при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовала конечная Необходимость Пусть множество ${\displaystyle M}$ (относительно) компактно. Зафиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и рассмотрим любой элемент ${\displaystyle x_{1}\in M}$. Если ${\displaystyle \rho (x,x_{1})<\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle x\in M}$, то конечная Достаточность Пусть при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в нём существует компактная Примечания Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59. Литература Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4. Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.