Меню Главная Случайная статья Настройки Сигма-алгебра Материал из https://ru.wikipedia.org -алгебра (сигма-алгебра, сигма-алгебра множеств) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей. Содержание 1 Определение 2 Пояснения 3 Измеримое пространство 4 Примеры 5 Примечания 6 Литература Определение Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ называется -алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам[1]: ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ содержит множество ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle E\in {\mathfrak {S}}}$, то и его дополнение ${\displaystyle X\backslash E\in {\mathfrak {S}}}$. Объединение или пересечение счётного подсемейства из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ Пояснения Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая -алгебра содержит пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$. Поскольку ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n})\right),}$ в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$. Требование в пункте 1 избыточно, так как из пункта 3 следует, что пересечение или объединение конечного числа элементов из ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ (обратное в общем случае неверно), откуда по пунктам 2 и 3 имеем ${\displaystyle \emptyset =E\cap (X\backslash E)\in {\mathfrak {S}}}$ и ${\displaystyle X=X\backslash \emptyset \in {\mathfrak {S}}}$. Для любой системы множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ существует наименьшая сигма-алгебра ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$, являющаяся её надмножеством. Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится. -алгебра, порождённая случайной величиной ${\displaystyle \xi :\,X\rightarrow \mathbb {R} }$, определяется следующим образом: ${\displaystyle \sigma (\xi )=\left\{\xi ^{-1}(B)\mid B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве ${\displaystyle X}$, относительно которой случайная величина ${\displaystyle \xi }$ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве ${\displaystyle X}$ вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции ${\displaystyle \xi }$ её можно ввести и наделить таким образом пространство ${\displaystyle X}$ структурой измеримого пространства, так что функция ${\displaystyle \xi }$ будет измеримой. Измеримое пространство Измеримое пространство — пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$, где ${\displaystyle X}$ — множество, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — некоторая сигма-алгебра его подмножеств. Примеры Борелевская сигма-алгебра Для любого множества ${\displaystyle X}$ существует тривиальная -алгебра ${\displaystyle \left\{X,\varnothing \right\}}$. Для любого множества ${\displaystyle X}$ существует -алгебра, которая содержит все его подмножества. Примечания Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр. Литература Макаров Б. М. Лекции по вещественному анализу. — БХВ-Петербург, 2011. — ISBN 978-5-9775-0631-1.