Меню Главная Случайная статья Настройки Пересечение множеств Материал из https://ru.wikipedia.org Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обычно обозначается ${\displaystyle A\cap B}$, но в редких случаях может обозначаться ${\displaystyle AB}$[1]. Содержание 1 Определение 1.1 Пересечение двух множеств 1.2 Пересечение семейства множеств 2 Свойства 3 Пример 4 Примечания 5 См. также Определение Пересечение двух множеств Пусть даны множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Тогда их пересечением называется множество ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.}$ Пересечение семейства множеств Пусть дано семейство множеств ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$ Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства: ${\displaystyle \bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}$ Свойства Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ${\displaystyle 2^{X}}$; Операция пересечения множеств коммутативна ${\displaystyle A\cap B=B\cap A;}$ Операция пересечения множеств ассоциативна: ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);}$ Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:[2] ${\displaystyle \left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)}$ Универсальное множество ${\displaystyle U}$ является нейтральным элементом операции пересечения множеств: ${\displaystyle A\cap U=A;}$ Операция пересечения множеств идемпотентна: ${\displaystyle A\cap A=A;}$ Если ${\displaystyle \varnothing }$ — пустое множество, то ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing .}$ Пример Пусть ${\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\}}$, ${\displaystyle B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}}$. Тогда ${\displaystyle A\cap B=\{3,\;4\}.}$ Примечания Математика, её содержание, методы и значение. — Рипол Классик, 2013. — С. 7. — 337 с. См. также Операции над множествами