Ru.Wikipedia.Org - Электрическая ёмкость

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Электрическая ёмкость
Материал из https://ru.wikipedia.org

Электрическая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости:

C

.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками^[1]

C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}

где

Q

— заряд,

\varphi

— потенциал проводника,

\varphi _{ref}

— потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Содержание

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C={\frac {Q}{\varphi }}

где

Q

— заряд,

\varphi

— потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса

R

равна (в системе СИ):

C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,

где

\varepsilon _{0}

— электрическая постоянная (8,85410¹² Ф/м),

\varepsilon _{r}

— относительная диэлектрическая проницаемость.

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами

\pm Q

, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула

C=Q/\varphi

останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками.

Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}

где

S

— площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы),

d

— расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

W={\frac {CU^{2}}{2}}

где

U

— напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой

C

(от лат. capacitas — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах^[2], сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика Майкла Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,98810¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

Ёмкость всегда положительна^[3], за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды $\varepsilon _{r}$ от соответствующих величин).
В случае среды с постоянными значениями $\varepsilon _{r}$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда $\varepsilon _{r}$ зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
Применительно к цепи синусоидального тока с частотой $\omega$ , элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление $X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}$ .
Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком^[4].

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

C_{\text{diff}}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}

которая определяется для выбранных условий

\varphi =\varphi _{0}

. Эта величина характеризует изменение напряжения при малом изменении заряда. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то

C_{\text{diff}}=C

, но практически встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей

C_{\text{diff}}(\varphi )

при разных частотах

\omega

изменения потенциала со временем

t

по закону

\varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)

. Такие измерения дают важную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ² = 0 с постоянным потенциалом на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)
Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$	l : Длина R₁: Радиус R $_{2}$ : Радиус
Две параллельные проволоки^[5]	${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене^[5]	${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы^[6]	$\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{8\pi K\left(k\right)}}$	d: Расстояние w₁, w $_{2}$ : Ширина полос k_m: d/(2w_m+d) k²: k₁k₂ K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$	R₁: Радиус R₂: Радиус
Два шара одинакового радиуса^[7]^[8]	${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ $={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a : Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены^[7]	$\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\varepsilon a$	a: Радиус
Круглый диск^[9]	${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина^[10]^[11]^[12]	${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	a: Радиус проволоки l: Длина : ln(l/a)

Эластанс

Величина, обратная ёмкости, называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ^[13].

См. также

Квантовая ёмкость

Примечания

Шакирзянов Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
«Электроёмкость» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.
Здесь имеется в виду настоящая ёмкость; в электронике можно создать искусственно элементы, зависимость $Q(\varphi )$ в которых будет убывающей — такие элементы можно условно назвать (по их поведению в электрической цепи) элементами с отрицательной ёмкостью, однако они не имеют отношения к предмету данной статьи.
См., напр. в книге: О. И. Клюшников, А. В. Степанов. Теоретические основы электротехники Архивная копия от 10 марта 2022 на Wayback Machine, РГППУ, Екатеринбург, 2010 — стр. 9.
¹ ²
¹ ²
Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // IMA Journal of Applied Mathematics^[англ.] : journal. — 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120. — doi:10.1093/imamat/34.1.119.
Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX. — P. 94—101. — doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32. — P. 1165—1173.
Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68, № 9. — С. 789—799. — doi:10.1119/1.1302908. — .
Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.

Литература