Меню Главная Случайная статья Настройки Алгебра Алберта Материал из https://ru.wikipedia.org Алгебра Алберта (Альберта) — 27-мерная исключительная йорданова алгебра. Названа в честь Абрахама Адриана Альберта — пионера в изучении неассоцитивных алгебр, обычно рассматриваемых над действительными числам. Над действительными числами существуют три такие йордановы алгебры с точностью до изоморфизма. Одна из них была впервые найдена Паскуалем Йорданом, Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером (1934) и изучена Албертом (1934), является множеством самосопряжённых матриц 33 над октонионами, снабжённым бинарной операцией: ${\displaystyle x\circ y={\frac {1}{2}}(x\cdot y+y\cdot x)}$, где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает обычное матричное умножение. Вторая алгебра определяется похожим образом, но используя сплит-октонионы[англ.] вместо октонионов. Последняя строится не из сплит-октонионов, с применением других стандартных инволюций. Над алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Алберта, и её группа автоморфизмов ${\displaystyle G}$ является простой расщепляемой группой типа ${\displaystyle F_{4}}$. (Например, комплексификация трёх алгебр Алберта над действительными числами изоморфна алгебре Алберта над комплексными числами.) Поэтому для общего поля ${\displaystyle F}$ алгебры Алберта классифицируются с помощью группы когомологий Галуа ${\displaystyle H_{1}(F,G)}$. Конструкция Кантора — Кёхера — Титса, применённая к алгебре Алберта, даёт алгебру Ли ${\displaystyle E_{7}}$. Расщепляемая алгебра Алберта используется для построения 56-мерной структурируемой алгебры, группа автоморфизмов которой имеет единичную компоненту односвязной алгебраической группы типа ${\displaystyle E_{6}}$. Пространство когомологических инвариантов алгебры Алберта поля ${\displaystyle F}$ (характеристики не 2) с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ является свободным модулем над кольцом когомологий ${\displaystyle F}$ с базисом, состоящим из 1, ${\displaystyle f_{3}}$, ${\displaystyle f_{5}}$ степеней 0, 3, 5 соответственно[1]. Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис из 1, ${\displaystyle g_{3}}$ степеней 0, 3[2][уточнить]. Инварианты ${\displaystyle f_{3}}$ и ${\displaystyle g_{3}}$ являются первичными компонентами инварианта Роста. Примечания Garibaldi S.[англ.], Merkurjev A., Serre J.-P. Cohomological invariants in Galois cohomology (англ.). — AMS, 2003. — P. 50. — ISBN 0-8218-3287-5. Литература Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism (англ.) // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35, iss. 1. — P. 29—64. — doi:10.2307/1968117. — . Albert A. A. On a Certain Algebra of Quantum Mechanics (англ.) // Ann. Math, 2nd Series. — 1934. — Vol. 35, iss. 1. — P. 65—73. — doi:10.2307/1968118. — .