Меню Главная Случайная статья Настройки Альтернативность Материал из https://ru.wikipedia.org Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции ${\displaystyle \circ }$, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$ ${\displaystyle \ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y)}$ — правая альтернативность, ${\displaystyle \ y\circ (y\circ x)=(y\circ y)\circ x}$ — левая альтернативность. Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно. Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина). Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр. Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов ${\displaystyle e_{\star },e_{1},e_{2}\dots }$ с альтернативным умножением, введённым следующим образом: ${\displaystyle e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j}}$ кроме ${\displaystyle e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }}$, ${\displaystyle e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6}}$, ${\displaystyle e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12}}$ степенная ассоциативность не выполняется: ${\displaystyle ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}}$. Литература Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Мир, 1970. — 162 с. Альтернативные кольца и алгебры — статья из Математической энциклопедии. К. А. Жевлаков